Không gian mêtric

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.

Không gian mêtric gần gũi nhất với cách hiểu trực quan của con người là không gian Không gian Euclide 3 chiều. Khái niệm "mêtric" trong thực tế là sự tổng quát hóa của mêtric Euclide phát sinh từ 4 thuộc tính được biết đến lâu đời của khoảng cách Euclide.[1] Không gian metric Euclide định nghĩa khoảng cách giữa 2 điểm bằng chiều dài theo đoạn thẳng nối chúng với nhau. Một không gian mêtric khác trong hình học Elíp và hình học hyperbolic, có khoảng cách trên quả cầu được đo bằng góc của một mêtric, và mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic được dùng bởi thuyết tương đối hẹp với một không gian mêtric vận tốc.

Sơ lược về không gian metric[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa không gian metric[sửa | sửa mã nguồn]

Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d: E \times E: \to \mathbb{R} thỏa:

  1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y \in E (tính phân biệt dương)
  2. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y
  3. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y \in E (tính đối xứng)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z \in E (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên E và cặp (E,d) được gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (E,d) thường được viết là E với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.[2]

Một số metric thông dụng trong không gian Rn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho x = (x_1, x_2, \ldots, x_n),  y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^{n}
d(x,y) = \sum_{k=1}^n |x_k - y_k|
d(x,y) = [\sum_{k=1}^n (x_k - y_k) p ] 1/p , khi p=2, metric này gọi là metric Euclide.
d(x,y) = \max_{1 \leq k \leq n}|x_k-y_k|
d(x,y) = \begin{cases} 0, & x = y \\ 1, & x \ne y \end{cases} gọi là metric rời rạc.
d(x,y) = \begin{cases} 0, & x_k = y_k \\ |x_k-y_k|, & x_k \ne y_k \end{cases} Với mọi k \geq 2.

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)[sửa | sửa mã nguồn]

Xác định bởi d(f,g) = \sup_{x \in A}d(f(x), g(x)) .

Trong đó  f,g: A \to (X,d).

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R[sửa | sửa mã nguồn]

Xác định bởi d(f,g)= \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\, dx.

Trong đó f,g: [a,b] \to \mathbb{R} liên tục.

Quả cầu mở, quả cầu đóng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho  a \in Xr>0, theo định nghĩa [3]:

  • B_{d}(a,r) = \{ x \in X: d(a,x) < r \} là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).
  • B'_{d}(a,r) = \{ x \in X: d(a,x) \leq r \} là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).

Xét các bổ đề sau:

Bổ đề[sửa | sửa mã nguồn]

Cho (X,d) là không gian metric, nếu  x \in X, r>0 thì y \in B_{d}(x,r) sẽ có tồn tại \delta_{r}>0 sao cho:

B_{d}(y,\delta_{r})\subset B_{d}(x,r).

Chứng minh:

Đặt \delta=r-d(x,y), cần chứng minh B(y,\delta) \subset B_d(x,r)
Hay lấy z \in B_d(y,\delta) bất kỳ, thì d(y,z) < \delta
Do đó d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + \delta = d(x,y) + [r-d(x,y)] = r
\Rightarrow d(x,z)<d(x,y)+d(y,z)<r
\Rightarrow z \in B_d(x,r) \Rightarrow B_d(y, \delta) \subset B_d(x,r)

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R2[sửa | sửa mã nguồn]

Cho x=(x_1, x_2), y=(y_1, y_2) và các metric sau:

d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|
d_2(x,y) = [(x_1 - y_1)2 + (x_2 - y_2)2]1/2
d_{\infty}(x,y) = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}

Khi đó các quả cầu mở tương ứng với các metric trên trong \mathbb{R}^{2} lần lượt là:  B_{d_1}(0,1), B_{d_2}(0,1), B_{d_{\infty}}(0,1) như hình vẽ:

Vi du metric

Topo sinh bởi metric[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Cho (X,d) là không gian metric, họ các quả cầu mở \mathfrak{B} = \{B_d(a,r): a \in X, r>0 \}cơ sở của topo trên X.[4]

Chứng minh:

Điều cần chứng minh \mathfrak{B} là cơ sở
Với mỗi x \in X được chứa trong một tập của \mathfrak{B}. Dễ thấy x \in B_d(x,r) , \forall r>0
Xét điều kiện thứ 2 cho một cơ sở được thỏa, cần chỉ ra rằng nếu x \in B_1 \cap B_2B_1, B_2 \in \mathfrak{B} thì có tồn tại B_3 \in \mathfrak{B} sao cho x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2.
Lấy B_1, B_2 là hai tập trong \mathfrak{B}, và giả sử x \in B_1 \cap B_2. Khi đó theo bổ đề 1.2.1, tồn tại  \delta_1, \delta_2 >0 sao cho B_d(x, \delta_1) \subset B_1B_d(x,\delta_2) \subset B_2. Đặt \delta = min\{\delta_1,\delta_2 \}. Khi đó x \in B_d(x,\delta) \subset B_1 \cap B_2 như yêu cầu.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Lấy (X,d) là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở \mathfrak{B} = \{B_d(a,r): a \in X, r>0 \} được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Cho (X,d) là không gian metric, một tập  U \in X là mở trong topo sinh bởi metric d nếu và chỉ nếu với mỗi  y \in U tồn tại  \delta >0 sao cho B_d(y, \delta) \subset U.

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tập[sửa | sửa mã nguồn]

Cho X,Y là hai không gian metric và  {x\in X} , A là tập con trong X.

 d(x,A)= \inf_{a\in A} d(x,a) được gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập A theo đó  d(x,A)= 0 khi và chỉ khi  x \in cl(A) có thể kiểm chứng  d(x,A) là metric và nó liên tục.

Khoảng cách Hausdorff[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ về khoảng cách Hausdorff

Cho X,Y là hai không gian metric và  {x\in X} , AB lần lượt là các tập con trong X,Y.

 d_{H}(A,B)= \max \left\{ \underset{a\in A}{\sup}\underset{b\in B}{\inf}d\left(a,b\right),\underset{b\in B}{\sup}\underset{a\in A}{\inf}d\left(a,b\right)\right\}  được gọi là khoảng cách từ tập A đến tập B

Hay còn có thể viết rút gọn là:

 d_{H}(A,B)= \max \lbrace{ \sup_{a\in A} d(a,B), \sup_{b\in B} d(b,A) \rbrace}

Khoảng cách này cũng là một metric và được gọi là metric Hausdorff.

 d_{H}(A,B)= 0 khi và chỉ khi  A \equiv B

Không gian metric tích[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể:

Cho \left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),...,\left(X_{m},d_{m}\right) là các không gian metric, định nghĩa  \left(X,d\right)=\left(X_{1}\times...\times X_{m},d\left(d_{1},...,d_{m}\right)\right) là không gian metric tích.

Cho x_{1},y_{1}\in X_{1},....,x_{m},y_{m}\in X_{m}. Đặt  x=\left(x_{1},x_{2},...,x_{m}\right) y=\left(y_{1},y_{2},...,y_{m}\right)\in X_{1}\times...\times X_{m}  thì

 d\left(x,y\right)=d\left(d_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),...,d_{m}\left(x_{m},y_{m}\right)\right)

Ví dụ Cho  \left\{ \left(\mathbb{R},d_{k}\right)\right\} _{k=\overline{1,..,n}} là các không gian metric, định nghĩa metric tích trên  \mathbb{R}^{n} như sau:

 d\left(x,y\right)=\overset{n}{\underset{^{k=1}}{\sum}}\left[\dfrac{1}{2^{k}}\left(\dfrac{d_{k}\left(x_{k},y_{k}\right)}{1+d_{k}\left(x_{k},y_{k}\right)}\right)\right] .

Kiểm tra được  d\left(x,y\right) là metric trên  \mathbb{R}^{n}

Một số ứng dụng của metric[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự[sửa | sửa mã nguồn]

Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất,... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.[5]

Khoảng cách Hamming[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng cách Hamming là cái tên được đặt theo tên của Richard Hamming, người giới thiệu lý thuyết này trong tài liệu có tính cơ sở của ông về mã phát hiện lỗi và sửa lỗi (error-detecting and error-correcting codes). Nó được sử dụng trong kỹ thuật viễn thông để tính số lượng các bit trong một từ nhị phân (binary word) bị đổi ngược, như một hình thức để ước tính số lỗi xảy ra trong quá trình truyền thông, và vì thế, đôi khi, nó còn được gọi là khoảng cách tín hiệu (signal distance). Việc phân tích trọng lượng Hamming của các bit còn được sử dụng trong một số ngành, bao gồm lý thuyết tin học, lý thuyết mã hóa, và mật mã học. Tuy vậy, khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng không chỉ bị thay thế đi, mà còn bị ảnh hưởng bởi dữ liệu bị chèn thêm vào, hoặc bị xóa đi, phương pháp đo đạc phức tạp hơn.

Trong lý thuyết thông tin, khi một thông tin được chuyển đi, ví dụ như khi gửi 1 tin nhắn, giả sử nó được mã hóa dưới dạng nhị phân gồm hữu hạn các dãy ký tự 0,1. n phần tử như vậy được gọi là 1 từ có chiều dài n. Mỗi từ có chiều dài n như vậy có thể xem như một vector có chiều dài n gồm toàn bộ các ký tự chỉ chứa những số 0 và 1. Tập tất cả các ký tự như vậy được viết là V^{n}=\left\{ \left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)|\; a_{i}\in\left\{ 0,1\right\} ,1\leq i\leq n\right\}  . Do đó V^{n} là tích của n cặp \left\{ 0,1\right\} .

Định nghĩa một metric giữa 2 từ trên tập này là số các vị trí mà tại đó chúng khác nhau.

Metric này được gọi là khoảng cách Hamming.

Ký hiệu là D_{Ham}\left(\cdot,\cdot\right)

Ví dụ: Cho 2 đoạn mã nhị phân

 a=\left(0,0,1,1,0,1,0,0,1\right)

 b=\left(0,1,1,0,0,1,0,0,0\right) .

Theo trên a,b khác nhau ở các vị trí thứ 2,4,6 và 9 nên D_{Ham}\left(a,b\right)=4

Đối với trình tự ADN (DNA Sequence) và trong khoa học máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Như đã trình bày ở mục trên: "khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng thay thế, mất, chèn,... phức tạp hơn, như khoảng cách Levenshtein (Levenshtein distance) là một phương pháp có tác dụng và thích hợp hơn."

Ngoài ra, trong các thuật toán của bộ môn khoa học máy tính, khái niệm khoảng cách Levenshtein thể hiện khoảng cách khác biệt giữa 2 chuỗi kí tự. Khoảng cách này được đặt theo tên Vladimir Levenshtein, người đã đề ra khái niệm này vào năm 1965. Nó được sử dụng trong việc tính toán sự giống và khác nhau giữa 2 chuỗi, như chương trình kiểm tra lỗi chính tả của winword spellchecker.

Khoảng cách Levenshtein[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng cách Levenshtein giữa dãy xy xác định bởi: D_L (x,y)=\min_S \lbrace{ i_S + d_S + r_S \rbrace}

Trong đó:

i_S (insertions in sequence) đại diện cho số các phần tử chèn vào trong dãy.
d_S (deletions in sequence) đại diện cho số phần tử bị xóa đi.
r_S (replacements in sequence) chỉ số những vị trí bị thay thế.

Ví dụ

Tính khoảng cách Levenshtein giữa 2 dãy DNA sau:

X= AGTTCGAATCC, Y=AGCTCAGGAATC

Với X= AGTTCGAATCC

Thay thế T: \; AGCTCGAATCC
Thêm vào A: AGCTCAGAATCC
Thêm vào G: AGCTCAGGAATCC
Xóa đi C: \qquad AGCTCAGGAATC

Do đó, số tối thiểu các phép chèn, xoá đi và thay thế để biến đổi X thành Y hay khoảng cách Levenshtein giữa XY là:

D_L (X,Y)=\min_S \lbrace{ i_S + d_S + r_S \rbrace}= 1+2+1 =4

Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metric[sửa | sửa mã nguồn]

Một số định nghĩa liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho d_{1},d_{2} là 2 metric trên X. 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại \alpha,\beta>0 sao cho

\alpha d_{1}\left(x,y\right)<d_{2}\left(x,y\right)<\beta d_{1}\left(x,y\right).
Ví dụ
3 metric d_{1}\left(x,y\right), d\left(x,y\right) d_{\infty}\left(x,y\right) là tương đương với nhau trên \mathbb{R}^{n}:
2 metric d\left(x,y\right)d'\left(x,y\right)=\min\left\{ 1,d\left(x,y\right)\right\} không tương đương với nhau trên X nhưng sinh ra cùng topo trên X

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho \left(X,d\right) là không gian metric, một tập con A\subset X gọi là chặn theo d nếu tồn tại \mu>0 sao cho d\left(x,y\right)< \mu ;\forall x,y\in A.

Nếu bản thân X bị chặn theo d thì nói d là metric bị chặn.[6]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho \left(X,d\right) là không gian metric, một song ánh f:\, X\rightarrow Y được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu d_{X}\left(x,x'\right)=d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right), \forall x,x'\in X

Nếu f:\, X\rightarrow Y là một isometry thì có thể nói các không gian metric X,Y là đẳng cự (isometric) [7].

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho \left(X,d\right) là không gian topo, Xkhông gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric d trên X mà nó sinh ra topo trên X [8].

Ví dụ: Xét topo Euclid trên đường tròn S^1=\lbrace{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1 \rbrace} như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng \mathbb{R}^2.

Topo này metric hóa được do:

Một cơ sở trên S^1 \subset \mathbb{R}^2 có được bằng cách giao các quả cầu mở trong \mathbb{R}^2 với S^1.

Xét metric trên S^1 được xác định bằng cách đặt d(p, q)= \min \lbrace{ \phi: 0 \leq \phi \rbrace} (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm pq trùng nhau.

Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên S^1 sinh ra bởi d có cùng cơ sở như topo Euclid trên S^1.

Các định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi không gian metric đều tách được theo (T.4)[9].

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Cho  \left(X,d_{X}\right)  \left(X,d_{Y}\right) là các không gian metric.
 f:X\rightarrow Y là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi x\in X,\epsilon>0 \delta>0 sao cho
nếu  x'\in X  d_{X}\left(x,x'\right)<\delta thì  d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right)<\epsilon .[10]
Ngoài ra, định nghĩa sự liên tục của hàm f theo định nghĩa tập mở:
Nếu f:X\rightarrow Y liên tục thì với mọi U mở trong Y thì f^{-1}(U) mở trong X.

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Minhhoatopo
Cho d,d' là metric trên không gian X, với  \tau,\tau' lần lượt là các topo sinh bởi 2 metric trên. Khi đó, \tau' mịn hơn \tau nếu và chỉ nếu với mỗi  x\in X\epsilon>0, thì có \delta>0 sao cho B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right)

Chứng minh:

Xét chiều \left(\Rightarrow\right). Giả sử \tau' mịn hơn \tau.
Khi đó mỗi tập mở trong \tau là mở trong \tau', hay \forall x\in X, \epsilon>0,B_{d}\left(x,\epsilon\right) mở trong \tau do đó mở trong \tau'
Do B_{d}\left(x,\epsilon\right) mở trong \tau' và chứa 'x'.
Theo Định lý 1.3.1 thì có \delta>0 sao cho B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right)
Xét chiều \left(\Leftarrow\right) với mỗi x\in X,\epsilon>0, tồn tại \delta>0 sao cho B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right).
Cần chứng minh \tau' mịn hơn \tau.
Lấy 'U' mở trong \tau, điều cần chứng minh nó mở trong \tau'.
Lấy x\in U bất kỳ, do U mở trong \tau nên theo Định lý 1.3.1 thì có \epsilon>0 sao cho B_{d}\left(x,\epsilon\right)\subset U
Giả sử có \delta>0 sao cho B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right)\subset U, hay B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset U.
Điều này dẫn đến với mỗi x\in U, có một \delta>0 sao cho B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset U .
Theo Định lý 1.3.1, U mở trong \tau' (điều phải chứng minh)

Định lý 3.2.4[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu \left(X,d\right) là không gian topo metric hóa và Y đồng phôi với X thì Y cũng metric hóa được. [11]

Định lý 3.2.5[sửa | sửa mã nguồn]

Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:

Cho (X,d) là không gian metric, ta nói X compact nếu và chỉ nếu mọi dãy  \left( x_n \right) \in X đều có dãy con \left( x_{n_{m}} \right) của x_n hội tụ trong X. [12]

Hơn nữa, nếu A \subset \mathbb{R}^n là tập con compact trong \mathbb{R}^n với \left( \mathbb{R}^n,d \right) là không gian metric Euclide với topo Euclide thì A đóng và bị chặn.[13]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Satish Shirali and Harkrishan L. Vasudeva (2006), Metric Spaces, Trang 27 - 28, ISBN 1-85233-922-5, Springer Science Business Media
  2. ^ T. W. K¨orner (May 27, 2013), Metric and Topological Spaces, trang 4, Faculty Board Schedules, Đại học Cambridge.
  3. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 163, ISBN 0131848690, Pearson.
  4. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 164, ISBN 0131848690, Pearson.
  5. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 168, ISBN 0131848690, Pearson.
  6. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 176, ISBN 0131848690, Pearson.
  7. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 178, ISBN 0131848690, Pearson.
  8. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 180, ISBN 0131848690, Pearson.
  9. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 182, ISBN 0131848690, Pearson.
  10. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 174, ISBN 0131848690, Pearson.
  11. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 181, ISBN 0131848690, Pearson.
  12. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 235, ISBN 0131848690, Pearson.
  13. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 234, ISBN 0131848690, Pearson.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]