Đa tạp

Trong hình cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu không bằng 180° (xem hình học cầu). Mặt cầu không phải là một mặt Euclidean, nhưng tại vùng lân cận thì gần như tương tự. Tại một vùng nhỏ trên mặt địa cầu, tổng các góc trong tam giác vẽ trên mặt đất là xấp xỉ 180°. Mặt cầu có thể được coi như một tập hợp các ánh xạ hai chiều, do đó mặt cầu chính là một đa tạp.

Đa tạp' tô pô $n$ chiều là một không gian tô pô mà mỗi điểm có lân cận đồng phôi với tập con mở của $\R^n$, nói một cách khác, là không gian tôpô tách với mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclide $n$ chiều. Đa tạp chính là khái niệm toán học mở rộng của đường và mặt.

Phân loại đa tạp theo số chiều

Đa tạp 1 chiều

- Đường thẳng thực $\R$
- Đường tròn $S^1$
- Đường chiếu thực $\R P^1 \cong S^1$
- Đường dài (long line)

Đa tạp 2 chiều

- Quả cầu $S^2$
- Mặt phẳng chiếu thực (real projective plane) $\R P^2$
- Mặt xuyến
- Mặt xuyến kép
- Dải Möbius
- Chai Klein
- Hình trụ $S^1 \times \R$
- Klein bậc bốn (Klein quartic)
- Giống (genus)

Đa tạp 3 chiều

- Quả cầu $S^3$
- $SO(3) \cong \R P^3$
- Mặt xuyến $T^3$
- Quả cầu đồng đều Poincaré (Poincaré homology sphere)
- Đa tạp Whitehead
- Đạ tạp Weeks
- Khối xuyến
- Chai Klein rắn (Solid Klein bottle)

Đa tạp 4 chiều

- Ngoại lai (exotic), $\R^4$
- Đa tạp $E8$

Đa tạp vô hạn chiều

- Đa tạp Hilbert
- Đa tạp Banach
- Đa tạp Fréchet

Ví dụ đa tạp

Theo số chiều:

Đường cong: Đa tạp một chiều

Một đa tạp topo 1 chiều là một không gian topo mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid $\R$

Một đa tạp 1 chiều liên thông được gọi là 1 đường.

Mỗi điểm trên đường có một lân cận sao cho đồng phôi với khoảng mở $(-1,1)$.

Ví dụ: Nếu $f: \R\rightarrow\R$ liên tục thì đồ thị của $f$ là một đa tạp 1 chiều.

Nói chung, cho $f: D\rightarrow\R$ là một hàm liên tục, với $D\subset\R$ⁿ là một tập mở. Khi đó, đồ thị của $f$, tập ${(x,f(x)|x\in D)}$ được coi là không gian con của $\R$ⁿ⁺¹, là một đa tạp $n$ chiều.

• 

  Parabol, 1 ví dụ đơn giản về đường
  

• 

  Megalithic art from Newgrange showing an early interest in curves
  

• 

  Đường được tạo bằng cách cắt hình nón trong số đường được nghiên cứu ở Hy Lạp cổ.
  

• 

  Four manifolds from algebraic curves: ■ circles, ■ parabola, ■ hyperbola, ■ cubic

Mặt: đa tạp hai chiều

Một đa tạp topo 2 chiều là một không gian topo mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid $\R$²

• Một đa tạp 2 chiều liên thông được gọi là một mặt

Mặt phẳng là 1 mặt. Nó liên thông và Hausdorff. Cho điểm $p\in\R^2$, quả cầu mở tâm $p$, bán kính bằng 1 là một lân cận của $p$ và đồng phôi với hình dĩa mở. Hơn nữa, mặt phẳng có một cơ sở hữu hạn được cho bởi tập những quả cầu mở, bán kính hữu tỉ, tâm tại điểm $x = (x_1, x_2)$ với $x_1, x_2$ hữu tỉ.

Lưu ý: Mọi tập con mở liên thông của mặt phẳng cũng là một mặt.

Ví dụ: Hình xuyến (torus) là một đa tạp 2 chiều

Ta quan sát một số hình ảnh về đa tạp 2 chiều:

• 
• 
• 

  Một hình xuyến là tích của hai vòng tròn, trong trường hợp này, vòng tròn màu đỏ được quét xung quanh trục định bởi vòng tròn màu hồng. $R$ là bán kính của vòng tròn màu hồng, $r$ là bán kính của một màu đỏ.

• Một mặt chứa một dải Mobius nhúng thì được gọi là không định hướng. Ngược lại là mặt có định hướng.

• 

  dải Mobius

Đa tạp ba chiều

Hoàn toàn tương tự như đa tạp 1 và 2 chiều.

Ta tham khảo một vài ví dụ về đa tạp 3 chiều.

• Ví dụ: The 3-sphere $S^3$. Quả cầu-3 được định nghĩa là tập những điểm có khoảng cách đơn vị tính từ gốc tọa độ trong không gian 4 chiều,
  

$S^3 = \left\{(x,y,z,w) | x^2+y^2+z^2+w^2 = 1\right\}$

• 

Ví dụ:

Một khối Klein bottle là một không gian thương thu được bởi sự xác định các đĩa tròn đối diện ở hai đầu của một khối trụ bằng phép phản chiếu.

• 

  Một khối trụ hữu hạn là một đa tạp với biên

• 

  Khối Klein bottle được nhúng trong không gian 3 chiều

• 

• 

  A perspective projection of a dodecahedral tessellation in H3.

• Four dodecahedra meet at each edge, and eight meet at each vertex, like the cubes of a cubic tessellation in E3

Định nghĩa: Một đa tạp 3 chiều là vô hướng nếu nó chứa 1 khối Klein bottle. Nếu không thì khi đó đa tạp 3 chiều được gọi là có hướng.

Ví dụ: Những vật có dạng là một khối lập phương là 1 đa tạp 3 chiều.

Đa tạp bốn chiều

Một đa tạp 4 chiều là không gian topo trong đó mỗi điểm có lân cận đồng phôi với không gian Euclid 4 chiều $\R^4$.

Đa tạp nhiều chiều

Ví dụ

• Mặt cầu $S^n$ là đa tạp $n$ chiều.

Sử dụng phép chiếu nổi ta chỉ ra rằng phủ $S^n$ với 2 lân cận $S^n -\left \{ N\right \}$ và $S^n -\left \{ S\right \}$ đồng phôi với $\R^n$.

• Mọi tập con mở của $\R^n$ là đa tạp $n$ chiều.

Đa tạp con

Đa tạp con là một tập hợp con của một đa tạp mà chính nó là một đa tạp, nhưng có số chiều nhỏ hơn.

Ví dụ: đường xích đạo của một hình cầu là một đa tạp con. Nhiều ví dụ phổ biến của đa tạp là đa tạp con của không gian Euclide.

Theo đối tượng nghiên cứu

• Đa tạp đại số: tập hợp tất cả các điểm $(z_1, z_2, ..., z_n)$ trong không gian phức $n$ chiều thỏa mãn hệ phương trình dạng

$F_i (z_1, z_2, ..., z_n) = 0; i = 1, 2, ..., s$ trong đó $F_i$ là các đa thức của các biến số $z_1, z_2, ..., z_n$

• • Nếu các $F_i$ đều là bậc nhất đối với tất cả các $z_j (j = 1, 2, ..., n)$ thì ta có đa tạp tuyến tính
  • Nếu các hệ số của $F_i$ là số hữu tỉ (thực, phức) thì ta có Đa tạp đại số hữu tỉ (thực, phức).

• 

  Figure 1: The four charts each map part of the circle to an open interval, and together cover the whole circle. The origin is understood to be at the center of the circle

• 

  Figure 2: A circle manifold chart based on slope, covering all but one point of the circle

• 

  Four manifolds from algebraic curves: ■ circles, ■ parabola, ■ hyperbola, ■ cubic

• 

  The chart maps the part of the sphere with positive z coordinate to a disc

• 

  A finite cylinder is a manifold with boundary

• 

  Một mặt Möbius

• 

  The Klein bottle immersed in three-dimensional space

• Đa tạp với biên (manifold with boundary):

Một đa tạp với biên là một đa tạp với một đường biên(cạnh).

Example: Một tờ giấy là một đa tạp 2 chiều với biên 1 chiều. Biên của một đa tạp n chiều với biên là một đa tạp (n-1) chiều. Một đĩa (vòng tròn cộng với phần trong) là đa tạp 2 chiều với biên. Biên của nó là một vòng tròn, một đa tạp 1 chiều. Một hình vuông tính cả phần trong cũng là một đa tạp 2 chiều với biên. Một quả bóng (hình cầu cộng với phần trong) là một đa tạp 3 chiều với biên. Biên của nó là một mặt cầu, đa tạp 2 chiều.

Trong ngôn ngữ kỹ thuật, đa tạp với biên là một không gian có chứa cả điểm trong và các điểm biên. Tất cả các điểm trong có một lân cận đồng phôi với quả cầu $n$-chiều mở $\left\{(x_1, x_2, ..., x_n) | \Sigma x_i^2 <1\right\}$. Tất cả các điểm biên có một lân cận đồng phôi với "một nửa" quả cầu $n$-chiều $\left\{(x_1, x_2, ..., x_n) | \Sigma x_i^2 <1, x_1 \ge 0 \right\}$. Các đồng phôi phải biến mỗi điểm biên thành một điểm có $x_1 = 0$.

Một số định lý liên quan đến đa tạp

Định lý nhúng Whitney

- Trong toán học, đặc biệt trong Topo vi phân, có hai định lý nhúng Whitney, được đặt theo tên nhà toán học người Mỹ, Hassler Whitney (1907 – 1989).
- Định lý nhúng Whitney mạnh phát biểu rằng bất kì đa tạp $m$ chiều thực trơn (cũng phải là Hausdorff và second-countable) có thể nhúng trơn trong không gian $2m$ thực $(\R)^{2m}$, nếu ${m >0}$. Đây là giới hạn tuyến tính nhất trong không gian Euclidean có chiều nhỏ nhất, mà tất cả đa tạp $m$ chiều được nhúng trong đó. Vì những không gian xạ ảnh thực của chiều $m$ không thể được nhúng vào không gian ${2m-1}$ thực nếu $m$ là lũy thừa của 2 ( có thể thấy từ lý luận lớp đặc trưng (characteristic class argument) của Whitney).
- Định lý nhúng Whitney yếu phát biểu rằng bất kỳ hàm liên tục từ đa tạp $n$ chiều đến đa tạp $m$ chiều có thể dự đoán bởi một phép nhúng miễn là ${m>2}$. Whitney chứng minh tương tự rằng một ánh xạ có thể được dự đoán bởi một (immersion) phép nhúng miễn là $m>2n-1$. Kết quả cuối cùng này được gọi là định lý nhúng (immersion )Whitney yếu.

Định lý đa tạp ổn định

Đặt:
$f: U\subset \R^n \to \R$
là 1 ánh xạ trơn với điểm hypebon cố định tại $p$. Chúng ta ký hiệu $W^s (p)$ tập hợp ổn định và $W^u (p)$ tập hợp không ổn định của $p$. Định lý [1][2][3] phát biểu rằng:
- $W^s (p)$ là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian ổn định của khi tuyến tính hóa $f$ tại $p$.
- $W^u (p)$ là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian không ổn định khi tuyến tính hóa $f$ tại $p$.
Theo đó, $W^s (p)$ là một đa tạp ổn định và $W^u (p)$ là một đa tạp không ổn định.

Định lý Birkhoff

- Nhà toán học người Mỹ, Garrett Birkhoff (1911 – 1996) đã chứng minh tương tự hai định nghĩa của đa tạp ở trên, một kết quả có ý nghĩa cơ bản với đại số phổ quát và được biết đến như định lý Birkhoff hoặc là định lý HSP. H, S, và P viết tắt cho những phép tính đóng của phép đồng hình, đại số con và tích số.
- Một lớp phương trình (equational class) ký hiệu Σ nào đó, là tập hợp của tất cả mô hình, theo ý nghĩa của lý thuyết mô hình, nó đã thỏa tập hợp phương trình E nào đó, (asserting equality between terms). Một mô hình thỏa những phương trình đó nếu chúng đúng trong mô hình cho mọi giá trị của biến. Những phương trình trong E sau đó được gọi là những đồng nhất thức của mô hình. Ví dụ của những đồng nhất thức đó là luật giao hoán, đại số giao hoán đặc trưng, và luật hút thu, dàn (lattices) đặc trưng.
- Dễ dàng thấy rằng lớp đại số thỏa tập hợp phương trình nào đó sẽ đóng trong phép toán HSP. Chứng minh ngược lại – các lớp đại số đóng trong phép toán HSP phải thuộc phương trình – sẽ khó hơn nhiều.

Xem thêm

• Mặt bậc hai
• Ánh xạ
• Tô pô

Tham khảo

- Colin Adam và Robert Franzosa Introduction to topology pure and applied từ mathematics

Liên kết ngoài

• Khái niệm đa tạp trên BKTT VN
• Đa tạp và bài toán Poincaré
• http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
• http://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_manifold_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_HSP_theorem