Đồng luân

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Tập tin:Octave equivalence as a 2-dimensional quotient space.webm
Video 2: Mặt phằng biến thành hình xuyến qua phép biến đổi đồng luân.
Hình 3: Một biến đổi đồng luân tách cà phê thành xuyến.
Tập tin:The Klein Bottle.webm
Video 3: Quá trình biến đổi đường thẳng thành hình ống Klein
Hình 4: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các hình ảnh động mô tả một phép biến đổi đồng luân.
Hình 5: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các đường nhỏ mô tả một phép biến đổi đồng luân.
Hình 6: Quá trình biến đổi đồng luân.
Hình 7: Homotopy group addition

Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-homos-đồng nhất và τόπος-topos-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luânnhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của H như là thời gian, khi đó H mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ f thành g kí hiệu H(x,t), t\in [0,1]. Tại thời điểm 0 ta có ánh xạ f, tại thời điểm 1 ta có ánh xạ g. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ f để g như di chuyển thanh trượt 0 đến 1, và ngược lại.
  • Một ký hiệu thay thế khác cho kí hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục f,g: X \rightarrow Y là một họ của các hàm số liên tục h_t: X \rightarrow Y cho t\in [0,1 ] sao cho h_0= fh_1 = g và mỗi bản đồ t \rightarrow h_t(x) liên tục từ [0, 1] đến Y. Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập h_t(x)=H(x,t).
  • Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file: Ly cà phê).
Hình 1: Quá trình biến đổi cốc cà phê thành hình xuyến qua phép biến đổi đồng luân.
Hình 2: Góc nhìn khác của quá trình biến đổi đồng luân.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hàm số liên tục fg được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân H từ f đến g như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu f_1,g_1:X \rightarrow Y là đồng luân, và f_2,g_2:Y\rightarrow Z là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng f_2\circ f_1g_2\circ g_1:X\rightarrow Z cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.

Đồng luân đường[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nhắc lại về đường đi trong không gian X là ánh xạ liên tục \alpha từ khoảng [0,1] trong tô pô Euclid vào X. Điểm \alpha (0) được gọi là điểm đầu và điểm \alpha (1) được gọi là điểm kết thúc.[1]
  • Đặt \alpha\beta là hai đường từ a sang b trong X. Một phép đồng luân từ \alpha\beta là họ các ánh xạ: F_t: X\rarr X, t\in [0,1], như vậy ánh xạ (t,s)\rarr F_t(s) là liên tục, F_0=\alpha, F_1=\beta, và với mọi điểm t đường F_t đi từ a \rarr b.[1]
  • Nếu có một phép đồng luân từ \alpha \rarr \beta chúng ta nói rằng \alpha đồng luân với \beta, thường kí hiệu là \alpha ~ \beta.[1]
  • Một vòng hay một đường đi đóng tại a \in X là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là a. Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục \alpha:  [0,1] \rarr X sao cho \alpha (0) = \alpha (1) =\alpha . Vòng bất biến là vòng mà \alpha (t) =\alpha với mọi t\in[0,1].[1]
  • Một không gian được gọi là đơn liên nếu nó liên thông đường và bất kì vòng là đồng phôi với một vòng bất biến.[1]
  • Ví Dụ:
Trong không gian định chuẩn hai đường \alpha, \beta cùng điểm đầu và cùng điểm cuối là đồng luân. Thông qua đồng luân (1-t)\alpha+t\beta .
Tập tin:Path Homotopy Animation - YouTube.webm
Video 1: Quá trình biến đổi đồng luân đường.
Tập tin:Homotopy Animation.webm
Video 2: Quá trình biến đổi đồng luân đường.
Tập tin:Null-homotopic Paths.webm
Video 5:Quá trình biến đổi đồng luân nhưng không đồng luân đường.
Tập tin:Homotopic, but not path homotopic.webm
Video 6: Quá trình biến đổi đồng luân nhưng không đồng luân đường.

Mệnh đề[sửa | sửa mã nguồn]

  • 1. Quan hệ đồng luân trên các tập của tất cả các đường từ a sang  b là mối quan hệ tương đương.[1]
  • 2. Nếu không gian X có sự biến dạng co rút lại thành không gian con A thì  X là đồng luân với  A.[1]
  • 3. Nếu  \alpha ~ \alpha_1  \beta ~\beta_1 thì  \alpha \cdot \beta ~ \alpha_1 \cdot \beta_1 . Thì chúng ta có thể định nghĩa [a]\cdot [b]=[\alpha\cdot \beta] .[1]
  • 4. Nếu \alpha là đường từ a sang  b thì \alpha \cdot \alpha^{-1} là đồng luân chứa vòng tại a .[1]
  • 5. Đặt  \gamma là đường từ  x_0 sang y_0, \pi_1(X,y_0) là nhóm cơ bản của X tại x_0 thì ánh xạ:
 \gamma^*: \pi_1(X,x_0) \rarr \pi_1(X,y_0)
 [f]\mapsto [\gamma^{-1}\cdot f \cdot \gamma][
là đồng phôi.[1]

Đồng luân tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho hai không gian XY chúng ta nói rằng chúng tương đương đồng luân, hoặc của cùng một dạng đồng luân, nếu có tồn tại ánh xạ liên tục f : X \rarr Yg : Y \rarr X như vậy mà  g\circ f là đồng luân với tính chất ánh xạ ánh xạ đồng nhất Xf \circ g là đồng luân ánh xạ đồng nhất Y. Các ánh xạ fg được gọi là tương đương đồng luân trong trường hợp này. Mỗi đồng phôi là đồng luân tương đương, nhưng điều ngược lại là không thật sự đúng.
  • Ví dụ: Một đĩa rắn không phải là đồng phôi với một điểm duy nhất (vì không có song ánh giữa chúng), mặc dù các ổ đĩa và các điểm tương đương đồng luân (kể từ khi bạn có thể biến dạng đĩa dọc theo các đường xuyên tâm liên tục vào một điểm duy nhất).
  • Hai không gian XY tương đương đồng luân nếu họ có thể được chuyển đổi thành một khác bằng cách uốn cong, thu hẹp và mở rộng hoạt động. Ví dụ, một đĩa cứng hoặc bóng rắn là tương đương đồng luân đến một điểm, và R^2-{(0,0)} là tương đương đồng luân với đơn vị vòng tròn S^1. Không gian đó là tương đương đồng luân đến một điểm được gọi là co rút.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă â b c d đ e ê g - [TS. Huỳnh Quang Vũ| [1]| Giáo trình Tô Pô | | 2012-2013| Chương 15 - Trang 73 ]
2. Youtube