Compact

Tập compact $K$, lân cận $V$ và tập mở $U$

Compact là một khái niệm rất quan trọng của tô pô. Có nhiều định nghĩa khác nhau tùy theo ta xét trong những không gian mêtric hay không gian tô pô tổng quát. Tuy vậy, sau đây là định nghĩa tổng quát đối với tập compact trong bất kỳ không gian tô pô X.

Định nghĩa

Tập $A\subset X$ được gọi là một tập compact nếu với mọi họ tập con mở $(G_i)_{i\in I}$ của X, thỏa $A\subset\cup_{i\in I} G_i$ luôn luôn trích ra được một số hữu hạn các tập $G_i,\ i=1,...n$ sao cho $A\subset \cup_{i=1}^n G_i$.

Ý nghĩa

Ý nghĩa của khái niệm này: Để đưa những vấn đề mang tính địa phương về toàn cục, cần phải hữu hạn hóa quá trình vô hạn. Nói cách khác, mỗi sự kiện phụ thuộc ở phạm vi địa phương (xét trong lân cận tại mỗi điểm thuộc A), toàn bộ tập A được bao phủ bởi tất cả các lân cận ấy. Nếu chỉ cần một số hữu hạn các lân cận ấy đủ để bao phủ A thì ta có thể chọn được những đại lượng lớn nhất, bé nhất liên quan đến tính hữu hạn này.

Trong tiếng Anh, compact có nghĩa là "nén chặt, gọn gàng, tinh tế". Qua định nghĩa trên, ta thấy một tập compact khá gọn gàng: Tưởng chừng phải có vô hạn cái túi để đựng tập A nhưng thật ra chỉ cần hữu hạn cái là đủ.

Trước đây, một số nhà toán học Việt Nam đưa những thuật ngữ tiếng Việt để dịch khái niệm này như là "tập compact" = "tập cơm nén" (quá thuần Viêt) hay "tập áp súc" (từ Hán-Việt). Có lẽ không được hưởng ứng nhiều, ngày nay ta dùng luôn từ compact, đôi khi phiên âm thành "com-pắc".

Các định lý

Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:

• Hàm số liên tục trên một tập con compact của không gian mêtric thì liên tục đều.
• Hàm số liên tục trên một tập compact thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
• Mọi dãy tùy ý trong một tập compact đều có một dãy con hội tụ...

Liên kết ngoài

• Khái niệm compăc trên BKTT VN