Tô pô phần bù hữu hạn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Tô pô phần bù hữu hạntô pô có thể định nghĩa trên mỗi tập X. Nó bao gồm tập rỗng và các tập mở là các tập con của X có phần bù là hữu hạn. Do đó, trong tô pô phần bù hữu hạn, chỉ những tập đóng hoặc X là hữu hạn. Rõ ràng hơn, ta có thể viết tô pô phần bù hữu hạn như sau:

\mathcal{T} = \{A \subseteq X \mid A=\varnothing \mbox{ or } X \setminus A \mbox{ is finite} \}

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Một tập con A của không gian tô pô X với tô pô phần bù hữu hạn là compact.

Chứng minh.[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử \left\{ U_{i}:i\in I\right\} là một phủ mở của A. Khi đó

A=\bigcup_{i\in I}U_{i}

nên

X\setminus A = \bigcap_{i\in I} X\setminus U_{i}

Vì mỗi X\setminus U_{i} là hữu hạn nên \bigcap_{i\in I} X\setminus U_{i} cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập X\setminus U_{i} (i\in J với J\subset I|J|<\infty) sao cho

X\setminus A = \bigcap_{i\in J} X\setminus U_{i}

Do đó

A=\bigcup_{i\in J}U_{i}

Vậy A compact.