Định lý Heine-Borel

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard HeineÉmile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con A trong không gian Euclide \mathbb{R}^n, thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Một tập con A của không gian Euclide \mathbb{R}^ncompact khi và chỉ khiđóngbị chặn hoàn toàn.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử A compact. Vì \mathbb{R}^n là không gian Hausdorff nên A đóng. Lấy một họ

\left\{ B(0,m)|m\in\mathbb{Z}^{+}\right\}

các phủ mở của A. Vì A compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có M sao cho A\subset B(0,M). Nên, với hai điểm bất kỳ xy của A, ta có d(x,y)\leq 2M. Vậy A bị chặn.

Ngược lại, nếu A đóng và bị chặn, giả sử d(x,y)\leq N với mọi x,y\in A. Cố định một điểm x_0 của A, đặt d(x_0,0)=b. Khi đó, với mọi x\in A thì

d(x,0)\leq d(x,x_0)+d(x_0,0)\leq N+b.

Đặt P=N+b, thì A là tập con của [-P,P]^n, là tập compact. Vì A đóng nên A cũng compact.

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]