Giới hạn (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

:Đây là bài viết nói chung về khái niệm giới hạn trong Toán học. Với các ứng dụng cụ thể, hãy xem các trang giới hạn dãy sốgiới hạn hàm số.

Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàmphép tính tích phân.

Khái niệm giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạngiới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù.

Người ta kí hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an) = a hoặc ana.

Giới hạn của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chính: Giới hạn hàm số
Khi x nằm trong khoảng (c - δ, c + δ) thì f(x) nằm trong khoảng ε (L - ε, L + ε)
Với mọi x > S, f(x) nằm trong khoảng ε (L - ε, L + ε)

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thựcc là một số thực. Biểu thức

\lim_{x \to c} f(x)=L

có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này, ta nói "giới hạn của f(x), khi x tiến tới c, là L. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 không xác định 2.001 2.010 2.100

Như vậy, f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.

Karl Weierstrass đã hình thức hóa định nghĩa giới hạn hàm số bằng phương pháp (ε, δ) vào thế kỉ 19.

Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn có thể có giới hạn tại vô cực. Ví dụ, xét hàm số

f(x) = {2x-1 \over x}
  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.9999

Khi x trở nên vô cùng lớn thì giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và giá trị của f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ lớn. Ta nói "giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2" và viết

\lim_{x\to\infty}f(x)=2.

Giới hạn của dãy số[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chính: Giới hạn dãy số

Xét dãy số sau: 1.79, 1.799, 1.7999,... Ta có thể nhận thấy rằng dãy số này "tiến dần" đến 1.8, đó là giới hạn của dãy.

Một cách hình thức, giả sử x1, x2,... là một dãy các số thực. Ta gọi số thực L là giới hạn của dãy và viết:

 \lim_{n \to \infty} x_n = L

nếu

Với mọi số thực ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0, |xn − L| < ε.

Về mặt trực giác, điều này có nghĩa là tất cả những số hạng sau một số hạng nào đó của dãy đều sẽ gần với giới hạn "L" một cách tùy ý, bởi vì giá trị tuyệt đối |xn − L| là khoảng cách giữa xnL. Không phải dãy số nào cũng có giới hạn; nếu một dãy có giới hạn thì ta gọi dãy đó là hội tụ, còn ngược lại, ta nói dãy đó phân kì. Người ta đã chứng minh được rằng một dãy số hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.

Giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số có mối quan hệ mật thiết. Một mặt, giới hạn của dãy số thực chất là giới hạn của một hàm số có biến số là số tự nhiên. Mặt khác, giới hạn của một hàm số f tại x, nếu tồn tại, chính là giới hạn của dãy số xn = f(x + 1/n).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]