Hàm liên tục

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Dạng định nghĩa epsilon-delta đươc đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của f như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của f(x). Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm liên tục trên \mathbb{R}[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm từ một tập số thực vào một tập số thực có thể biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ mà không có những lỗ hổng hoặc nhảy.

f\,:\, I\rightarrow\mathbb{R}

là một hàm được định nghĩa trên tập con của đường thẳng thực \mathbb{R}, tập con I gọi là miền xác định của f.

Khoảng mở trên \mathbb{R}

I=(a,b)=\{x\in\mathbb{R}|\, a<x<b\}

Khoảng đóng trên \mathbb{R}

I=[a,b]=\{x\in\mathbb{R}|\, a\leq x\leq b\}

Ở đây a, b là số thực.

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm f gọi là liên tục tại điểm c trên miền xác định nếu giới hạn của f(x) khi x tiến dần về c tồn tại và bằng giá trị của f(c). Ta viết:

\underset{x\rightarrow c}{\lim}f(x)=f(c)

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là f xác định tại c, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng f(c).

Hàm f là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy[sửa | sửa mã nguồn]

Cho dãy (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} bất kì trên miền xác định hội tụ về c, thì tương ứng dãy (f(x_{n}))_{n\in\mathbb{N}} hội tụ về f(c)

Biểu diễn liên tục theo delta-epsilon
Đồ thị hàm f(x)=\frac{2x-1}{x+2}

Định nghĩa liên tục theo delta-epsilon[sửa | sửa mã nguồn]

Cho bất kì số thực \varepsilon>0, tồn tại số thực \delta>0 sao cho với mọi x trong miền xác định của f với c-\delta<x<c+\delta, giá trị của f(x) thỏa

f(c)-\varepsilon<f(x)<f(c)+\varepsilon

Liên tục của f\,:\, I\rightarrow\mathbb{R} tại c là với mọi \varepsilon>0, tồn tại \delta>0 sao cho với mọi x\in I

\vert x-c\vert<\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert<\varepsilon

Đồ thị hàm sign(x) trên \mathbb{R}

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm f(x)=\frac{2x-1}{x+2} liên tục trên miền xác định \mathbb{R\backslash}\{-2\}

Phản ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]


\sgn(x) = \begin{cases}
1,x > 0\\
0,x = 0\\
-1,x < 0
\end{cases}

Ví dụ về hàm không liên tục với \varepsilon=\frac{1}{2}, lấy với mọi y\neq0, khi đó không tồn tại \delta>0\,:\,\vert y-0\vert=\vert y\vert<\delta sao cho \vert f(y)-f(0)\vert=<\epsilon=\frac{1}{2}\vert f(y)-f(0)\vert=1\,\forall y\neq0

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Định lí giá trị trung bình[sửa | sửa mã nguồn]

Cho f\,:\,[a,b]\rightarrow\mathbb{R} là liên tục, giả sử s nằm giũa f(a)f(b). Khi đó tồn tại ít nhất một c\in[a,\, b] sao cho f(c)=s.

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lí giá trị cực[sửa | sửa mã nguồn]

Cho khoảng [a,\, b] (khoảng đóng và bị chặn) và f\,:\, [a,\, b]\rightarrow\mathbb{R} là liên tục, khi đó fgiá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên [a,\, b], hay tồn tại c,\, d\in [a,\, b] sao cho f(c)\leq f(x)\leq f(d) với mọi x\in X.

Định lí điểm cố định[sửa | sửa mã nguồn]

Cho a<b;\, a,\, b\in\mathbb{R}, f\,:\,[a,\, b]\rightarrow[a,\, b] liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một c\in[a,\, b] sao cho f(c)=c.

Quan hệ với tính khả tíchkhả vi[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi hàm f\,:\,(a,b)\rightarrow\mathbb{R} khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

f(x)=|x| = \begin{cases}
  x, x \geq 0\\
  -x, x < 0
\end{cases} là liên tục trên \mathbb{R} nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm f^{'}(x) của hàm khả vi f(x) không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm C^{1}(a,b).

Xét tập các hàm

f\,:\,\Omega\rightarrow\mathbb{R}

Trong đó \Omegatập con mở trong \mathbb{R} sao cho hàm f khả vi liên tục đến bậc k.

Tập các hàm này là không gian C^{k}(\Omega).

Mọi hàm

f\,:\,[a,\, b]\rightarrow\mathbb{R}

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm sign(x)

Đồ thị hàm sin(x)

Liên tục đều[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử \Omega là tập con của \mathbb{R} khi đó

f\,:\,\Omega\rightarrow\mathbb{R}

liên tục đều trên \Omega nếu với mọi \epsilon >0 cho trước tồn tại \delta >0 chỉ phụ thuộc vào \epsilon sao cho \forall x,\, x^{'}\in\Omega thì

\vert f(x)-f(x')\vert<\varepsilon

Ví dụ như hàm y=sin(x)y=x

Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục

Hội tụ của dãy hàm liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Cho dãy (f_{n})_{n\in\mathbb{N}}\,:\, I\rightarrow\mathbb{R}

các hàm liên tục sao cho

f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)

tồn tại với mọi x\in I, khi đó hàm f(x)giới hạn từng điểm của hãy (f_{n})_{n\in\mathbb{N}}, hàm f không nhất thiết liên tục cho dù f_n là liên tục.

Tuy nhiên nếu f liên tục, khi đó dãy (f_{n})_{n\in\mathbb{N}} hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi[1][sửa | sửa mã nguồn]

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho cd là hai số thực(thường lấy c=1d=0), định nghĩa bởi

D(x)=\begin{cases}
c, x\in \mathbb{Q}\\
d, x\notin \mathbb{Q}
\end{cases}

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

D(x)=\underset{m\rightarrow\infty}{lim}\underset{n\rightarrow\infty}{lim}cos^{2n}(m!\pi x) Nếu E là tập con bất kì của không gian tô pô X sao cho cả Ephần bù của E trù mật trong X sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[2]

Liên tục trên không gian mêtric[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho (X,d_1)(Y,d_2) là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ f\,\,:\, (X,d_1)\,\rightarrow\, (Y,d_2) liên tục tại x \in X nếu

\forall\varepsilon>0,\,\exists\sigma>0,\, d_{1}(x,y)\,<\,\sigma\,\Rightarrow d_{2}(f(y),f(x))\,<\varepsilon

hay với mọi B(f(x),\varepsilon) tâm tại f(x) khi đó \exists B(x,\sigma) tâm tại x sao cho

f(B(x,\sigma))\subset B(f(x),\varepsilon).

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Liên tục Lipchitz[3][sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai không gian mêtric (X,d_{X})(Y,d_{Y}) với d_{X} là mêtric trên Xd_{Y} là mêtric trên Y.

f\,:\, X\rightarrow Yliên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số K\geq0 sao cho với mọi x_{1},\, x_{2}\in X

d_{Y}(f(x_{1}),\, f(x_{2}))\leq K\, d_{X}(x_{1},\, x_{2})

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm f(x)=\sqrt{x^{2}}+5 liên tục Lipchitz với K=1.

Liên tục Holder[3][sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai không gian mêtric (X,d_{X})(Y,d_{Y}) với d_{X} là mêtric trên Xd_{Y}mêtric trên Y, với \alphasố thực.

f\,:\, X\rightarrow Yliên tục Holder nếu tồn tại hằng số K\geq0 sao cho với mọi x_{1},\, x_{2}\in X

d_{Y}(f(x_{1}),\, f(x_{2}))\leq K(\, d_{X}(x_{1},\, x_{2}))^{\alpha}

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

f(x)=\sqrt{x}liên tục Holder với \alpha\leq\frac{1}{2}, nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy[4][sửa | sửa mã nguồn]

Cho XY là hai không gian mêtric, f là hàm từ X vào Y.

Hàm fliên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì (x_{1},x_{2},...) trong X, dãy (f(x_{1}),\, f(x_{2}),\,...) là dãy Cauchy trong Y.

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu Xkhông gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên Xliên tục Cauchy.

ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Trên đường thẳng thực \mathbb{R} liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm f(x)=0 khi x^{2}<2f(x)=1 khi x^{2}>2 với mọi số hữu tỉ x. Hàm này liên tục trên \mathbb{Q} nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô[sửa | sửa mã nguồn]

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X
  • Cho XY là hai không gian tô pô. Ánh xạ f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y là liên tục tại điểm x trong X nếu mọi tập mở V trong Y chứa f(x) thì có tập mở U của X chứa x sao cho f(U) chứa trong V. Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X.
  • Lân cận của điểm x \in X là tập con của X chứa tập mở chứa x. Lân cận không cần phải mở.
  • f liên tục tại x nếu mọi tập mở V chứa f(x) thì tập f^{-1}(V) là lân cận của x.[5]

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [6] của tập mở là tập mở. Hay f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y liên tục khi và chỉ khi với mọi V mở trong Y thì f^{-1}(V) mở trong X.
Chứng minh
(\Rightarrow) Giả sử rằng f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y là liên tục. Cho U là tập mở trong Y. Cho x \in f^{-1}(U). Vì f liên tục tại xU là lân cận mở của f(x) thì có mở V_x chứa x sao cho V_x chứa trong f^{-1}(U). Do đó f^{-1}(U)=\cup_{x\in f^{-1}(U)}V_{x} là mở.
(\Leftarrow) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho x \in X, U là lân cận mở của f(x). Khi đó V=f^{-1}(U) là tập mở chứa x, và f(V) chứa trong U. Vì thế f liên tục tại x.

Một số tính chât và mệnh đề[7][sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho XY là hai không gian tô pô\mathbb{B} cơ sở của tô pô trên Y. Khi đó f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y liên tục nếu và chỉ nếu f^{-1}(B) là mở trong X với mọi B \in \mathbb{B}.
  • Giả sử f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y là liên tục. Nếu dãy (x_{1},\, x_{2},\,...) trong X hội tụ về x khi đó dãy (f(x_{1}),\, f(x_{2}),\,...) trong Y hội tụ về f(x).
  • Cho f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Yg\,\,:\, Y\,\rightarrow\, Z liên tục. Khi đó hàm hợp g\,\circ\, f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Z là liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông[7][sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho f\,:\, S^{2}\rightarrow\mathbb{R} liên tục, khi đó tồn tại c\in S^{2} sao cho f(c)=f(-c).

Liên tục trong không gian tô pô compact[7][sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ f, g, h đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y
Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví Dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 1: Cho X=\{a,b,c,d\}Y=\{1,2,3\} là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với f,g,h\,:\, X\,\rightarrow Y xác định:
f(a)=1,\, f(b)=1,\, f(c)=2,\, f(d)=2
g(a)=2,\, g(b)=2,\, g(c)=1,\, g(d)=3
h(a)=1,\, h(b)=2,\, h(c)=2,\, h(d)=3
f, g liên tục và h không liên tục.
Ví dụ 2: Xét (a,b) với a<ba,b\in\mathbb{R}, có \mathbb{B}=\{(x,b)|x\in(a,b)\}\mathbb{B}^{'}=\{(a,y)|y\in(a,b)\} là hai cơ sở. Ánh xạ
f\,:\, z\rightarrow b-z+a với z\in(a,x),x\in(a,b)biến mỗi phần tử trong \mathbb{B}^{'} thành một phần tử trong \mathbb{B}ánh xạ ngược của ánh xạ
g\,:\, z^{'}\rightarrow b-z^{'}+a với z^{'}\in(x,b),x\in(a,b)
Ánh xạ g liên tục.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)[sửa | sửa mã nguồn]

Cho X là không gian tô pô, A, B là hai tập con đóng của X sao cho A \cup B = X. Giả sử rẳng f\,\,:\, A\,\rightarrow\, Yg\,\,:\, Y\,\rightarrow\, Y là liên tục và f(x)=g(x)\,\,\,\forall x\,\in\, A\cap B. Khi đó h\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y xác định bởi:
h(x)=\begin{cases}
f(x), x\in A\\
g(x), x\in B
\end{cases}

thì h liên tục trên X.

Liên tục thông qua lưới[sửa | sửa mã nguồn]

Cho X, Y là 2 không gian tô pô. Khi đó f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y là liên tục tại x nếu và chỉ nếu khi nào có lưới n trong X hội tụ về x, thì lưới f\circ n hội tụ về f(x).
Viết theo kí hiệu quen thuộc: f liên tục tại x nếu và chỉ nếu với mọi lưới x_{i}\rightarrow x\,\Rightarrow f(x_{i})\,\rightarrow\, f(x).

Liên tục trên không gian tích[sửa | sửa mã nguồn]

\prod f_{j}\,:\,\prod X_{j}\rightarrow\prod Y_{j} là liên tục khi và chỉ khi f_{j}\,:\, X_{j}\rightarrow Y_{j} liên tục với mọi j thuộc J

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm h\,:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, cho bởi:
h(x)=|x|=\begin{cases}
x, x \geq 0\\
-x, x \leq 0
\end{cases}

Mở rộng[sửa | sửa mã nguồn]

Tô pô sinh bởi ánh xạ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho (X,\tau_{X})không gian tô pô, Y là một tập, và f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên Y sao cho f liên tục.
Yêu cầu của \tau_{Y} là nếu U \in \tau_{Y} thì f^{-1}(U) \in \tau_{X}
Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy)[8] trên Y thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm f liên tục.
Mặt khác, họ \{U\subset Y\,|\,\, f^{-1}(U)\in\tau_{X}\} là tô pô thực sự trên Y. Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.
  • Cho X là một tập, (Y,\tau_{Y})không gian tô pô, và f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên X sao cho f liên tục.
Yêu cầu của \tau_{X} là nếu U \in \tau_{Y} thì f^{-1}(U) \in \tau_{X}.
Tôpô rời rạc trên X là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.
Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ S_Y sinh ra \tau_{Y} thì \tau_{X} được sinh bởi họ \{f^{-1}(U)\,|\,\, U\in S_{Y}\}.

Đồng phôi[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
  • Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
  • Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là X\approx Y, nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luân[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân
  • Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục fg từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được định nghĩa là ánh xạ H:\, X\times[0,1]\rightarrow Y từ tích của không gian X với đoạn đơn vị [0,1] vào Y sao cho với mỗi x thuộc X ta có H(x,0)=f(x)H(x,1)=g(x).
  • Nếu ta nghĩ tham số thứ 2 của H như là "thời gian", khi đó H mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ f thành ánh xạ g: tại thời điểm 0 ta có ánh xạ f và tại thời điểm 1 ta có ánh xạ g.
  • Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu f_{1},\, g_{1}\,:\, X\rightarrow Y là đồng luân và f_{2},\, g_{2}\,:\, Y\rightarrow Z là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng f_{2}\circ f_{1}g_{2}\circ g_{1}:Y\rightarrow Z là đồng luân

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 1: Cho f\,:\,(\mathbb{R},\tau)\rightarrow(\mathbb{R},Euclid) là ánh xạ biến
f\,:\, x\rightarrow x^{2}
Ta thấy \tau=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} là tô pô mịn nhất sao cho f liên tục.
Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân

Tham Khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ [1]
  2. ^ [2]
  3. ^ a ă [3]
  4. ^ [4]
  5. ^ Lecture notes on Topology, trang 14, HCMUS.
  6. ^ [5],
  7. ^ a ă â Introduction to topology pure and applied của Colin Adam và Robert Franzosa
  8. ^ The trivial toplogy