Đạo hàm riêng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, đạo hàm riêng của một hàm số đa biến là đạo hàm theo một biến, các biến khác được xem như là hằng số(khác vớiđạo hàm toàn phần, khi tất cả các biến đều biến thiên). Đạo hàm riêng được sử dụng trong giải tích vectorhình học vi phân.

Đạo hàm riêng của f đối với biến x được kí hiệu khác nhau bởi

f^\prime_x,\  f_x,\ f_{,x},\  \partial_x f, \text{ or }  \frac{\partial f}{\partial x}

Kí hiệu của đạo hàm riêng là. Kí hiệu này được giới thiệu bởi Adrien-Marie Legendrevà được chấp nhận rộng rãi sau khi nó được giới thiệu lại bởi Carl Gustav Jacob Jacobi.[1]

A graph of z = x2 + xy + y2. For the partial derivative at (1, 1, 3) that leaves y constant, the corresponding tangent line is parallel to the xz-plane.
A slice of the graph above at y= 1

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ sau sẽ giúp giải thích định nghĩa của đạo hàm riêng theo biến y.Giả sử một hàm theo hai biến x,y được xem như là một họ các hàm theo y được đánh số theo x

f(x,y) = f_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2.\,

Nói một cách khác, mỗi giá trị của x định nghĩa một hàm số, ký hiệu là fx, mà nó là hàm số một biến. Nghĩa là

f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,

Một khi giá trị của x được chọn, ví dụ là a, thì f(x,y) xác định một hàm số fa

f_a(y) = a^2 + ay + y^2. \,

Trong công thức này, ahằng số, không phải làbiến số, do đó fa là một hàm số một biến và do vậy ta có thể sử dụng định nghĩa đạo hàm cho hàm một biến:

f_a'(y) = a + 2y. \,

Quy trình trên có thể được áp dụng cho bất cứ lựa chọn nào của a. Khi đem gộp lại tất cả những đạo hàm đó ta có được sự biến thiên của hàm số f theo hướng của y:

\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.\,

Đây là đạo hàm riêng của f theo biến số y. Ổ đây ∂ được gọi là ký hiệu đạo hàm riêng.

Một cách tổng Quát, đạo hàm riêng của một hàm số f(x1,...,xn) theo hướng xi at the tại điểm (a1,...,an) được định nghĩa là:

\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots, a_i, \dots,a_n)}{h}.

Trong tỷ số bên trên, tất cả các biến ngoại trừ xi được giữ cố định. Do vậy ta chỉ có hàm số theo một biến f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n), và do định nghĩa,,

\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(x_i) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n).

Một ví dụ quan trọng của đạo hàm riêng: Cho một hàm số f(x1,...xn) đinh nghĩa trên một miền của Rn (ví dụ, trên R2 hay là R3). Trong trường hợp này Lf có các đạo hàm riêng ∂f/∂xj đối với mỗi biến xj. Tại điểm a, những đạo hàm riêng này định ra vector

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).

Vector này được gọi là gradient của f tại a. Nếu f khả vi tại mọi điểm trong một miền nào đó, thì gradient là hàm số có trị là vectơ ∇f đưa điểm a đến vectơ ∇f(a). Do đó gradient là một trường vectơ.

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Jeff Miller (14 tháng 6 năm 2009). “Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Truy cập ngày 20 tháng 2 năm 2010. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]