Định lý cơ bản của giải tích

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý cơ bản của giải tích chỉ rõ mối quan hệ giữa 2 vấn đề trung tâm của giải tíchđạo hàmtích phân.

Nội dung của định lý gồm hai phần:

Phần thứ nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Cho f là một hàm số thực, liên tục trên một đoạn [a, b]. Hàm F xác định với mọi x thuộc [a, b] bởi công thức:

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,.

Khi đó, F liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng mở(ab), và

F'(x) = f(x)\,

với mọi x thuộc (a, b).

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý này thường được dùng để tính tích phân xác định của một hàm mà nguyên hàm của nó đã biết. Cụ thể, nếu ƒ là một hàm thực, liên tục trên [ab], và g là nguyên hàm của ƒ trên [ab], thì

\int_a^b f(x)\, dx = g(b)-g(a).

Hệ quả đã giả thiết tính liên tục của ƒ trên toàn bộ đoạn [ab]. Phần thứ hai của định lý phát biểu kết quả mạnh hơn hệ quả này.

Phần thứ hai[sửa | sửa mã nguồn]

Phần này thường được gọi là định lý Newton-Leibniz.

Cho f là một hàm số thực xác định trên đoạn [a, b] và tìm được nguyên hàm g của nó trên [ab], nói cách khác, ƒg là các hàm số sao cho với mọi x thuộc [ab],

f(x) = g'(x).\

Nếu f khả tích trên [ab] thì

\int_a^b f(x)\,dx\, = g(b) - g(a).

Phần thứ hai mạnh hơn hệ quả đã nêu là vì nó không cần giả thiết ƒ là hàm liên tục.

Từ phần thứ nhất của định lý, ta nhận thấy nguyên hàm của ƒ luôn tồn tại khi ƒ liên tục, mặc dù trong nhiều trường hợp, nguyên hàm đó không biểu diễn được thông qua các hàm số sơ cấp quen thuộc.