Độ cong

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong \kappa chính là nghịch đảo của bán kính cong R.

\kappa = \frac{1}{R}

Gọi ds là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d\phi là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

\kappa = \frac{d\phi}{ds}

Tính độ cong của một đường cong phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa độ Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số 
\begin{cases}
 x = x(t) \\
 y = y(t)
\end{cases}
, từ phần trên ta có định nghĩa:

\kappa = \frac{d\phi}{ds}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{\left (\dfrac{dx}{dt}\right )^2 + \left (\dfrac{dy}{dt}\right )^2}}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{{x'}^2 + {y'}^2}}

d\phi là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa \phigóc tiếp tuyến của đường cong.

\tan \phi = \dfrac{dy}{dx}
 = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
 = \dfrac{y'}{x'}

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta được:

\frac{d}{dt}(\tan \phi)
 = \left (1 + {\tan}^2 \phi \right )\frac{d\phi}{dt}
 = \dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2}

\Leftrightarrow \frac{d\phi}{dt}
 = \frac{1}{1 + {\tan}^2 \phi}\dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2}
 = \frac{1}{1 + {\left (\dfrac{y'}{x'}\right )^2 }}\dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2}
 = \dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2+{y'}^2}

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right )^{3/2}}

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f(x) thì độ cong được tính như sau:

\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right )^2\right ]^{3/2}}

Trong hệ tọa độ cực[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r(\theta) thì độ cong được tính như sau:

\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right )^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right )^2\right ]^{3/2}}

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng 
\begin{cases}
 x = t \\
 y = at + b
\end{cases}
hay y = ax + b sẽ có độ cong được tính như sau:

x' = 0,\quad x'' = 0,\quad y' = a, \quad y'' = 0,\quad \dfrac{dy}{dx} = a, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 0

Áp dụng công thức ta có:

\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right )^{3/2}}
= \dfrac{0\cdot 0 - a\cdot 0}{\left ({0}^2+{a}^2\right )^{3/2}} = 0

hay công thức:

\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right )^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{0}{\left [1+a^2\right ]^{3/2}} = 0

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn 
\begin{cases}
 x = R\cos t \\
 y = R\sin t
\end{cases}
hay r = R sẽ có độ cong được tính như sau:

x' = -R\sin t,\quad x'' = -R\cos t,\quad y' = R\cos t, \quad y'' = -R\sin t,\quad \dfrac{dr}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{d^2r}{d\theta^2} = 0

Áp dụng công thức ta có:

\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right )^{3/2}}
= \dfrac{(-R\sin t)\cdot (-R\sin t) - (R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left [{(-R\sin t)}^2+{(R\cos t)}^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}

hay công thức:

\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right )^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right )^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{R^2 + 2\cdot 0^2 - R\cdot 0}{\left [R^2+0^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khác[sửa | sửa mã nguồn]

  • Đường parabol y = ax^2 sẽ có độ cong được tính như sau:
\dfrac{dy}{dx} = 2ax, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2a

Áp dụng công thức ta có:

\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right )^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left [1+(2ax)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left (1+4a^2x^2\right )^{3/2}}
  • Đường ellipse 
\begin{cases}
 x = a\cos t \\
 y = b\sin t
\end{cases}
sẽ có độ cong được tính như sau:
x' = -a\sin t,\quad x'' = -a\cos t,\quad y' = b\cos t, \quad y'' = -b\sin t

Áp dụng công thức ta có:

\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right )^{3/2}}
= \dfrac{(-a\sin t)\cdot (-b\sin t) - (b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left [{(-a\sin t)}^2+{(b\cos t)}^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left [\left (\dfrac{ay}{b}\right )^2+\left (\dfrac{bx}{a}\right )^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left [a^2\left (1-\dfrac{x^2}{a^2}\right )+\dfrac{b^2}{a^2}x^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left [a^2 - \left (1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right )x^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left (a^2 - e^2x^2\right )^{3/2}}

với e=\sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}} là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh[sửa | sửa mã nguồn]

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes 
\begin{cases}
 x = x(t) \\
 y = y(t) \\
 z = z(t)
\end{cases}
được tính theo công thức

\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]