Giai thừa

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2)....4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước n! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

Mục lục

[sửa] Bảng các giá trị đầu của n!

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 ... 20 ... 70
n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 ... 1307674368000 ... 243902008176640000 ... 1,19785716699699× 10100

[sửa] Định nghĩa đệ quy

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

  1. 0! = 1
  2. (n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0
  3. vd: 3! = 2! x 3 = 6 (mà 2! = 2)

[sửa] Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa

{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.
{}A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}.

[sửa] Các khái niệm tương tự

[sửa] Giai thừa nguyên tố (primorial)

Giai thừa nguyên tố của số tự nhiên n≥2, ký hiệu n# là tích của tất các các số nguyên tố không vượt quá n.

Ví dụ

2#= 2
3#=2.3=6
4#=2.3=6
5#=2.3.5=30
6#=2.3.5=30
7#=2.3.5.7=210

[sửa] Giai thừa kép

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{khi }n<=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{khi }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n!! 1 1 2 3 8 15 48 105 384 945 3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

(n-2)!!=\frac{n!!}{n}

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15 ...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

n!=n!!(n-1)!! \,
(2n)!!=2^nn! \,
(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

[sửa] Giai thừa bội

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!) ....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau

n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{khi }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{khi }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.

[sửa] Siêu giai thừa (superfactorial)

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

\mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

Tổng quát

\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequence A000178 in OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1) =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}

trong đó mf(n,0) = n for n > 0 and mf(0,m) = 1.

Lấy từ “http://vi.wikipedia.org/wiki/Giai_th%E1%BB%ABa”