Giai thừa

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	1,5511210043×1025
50	3,0414093202×1064
70	1,1978571670×10100
100	9,3326215444×10157
171	1,2410180702×10309
450	1,7333687331×101.000
1000	4,0238726008×102.567
3249	6,4123376883×1010.000
10000	2,8462596809×1035.659
25206	1,2057034382×10100.000
100000	2,8242294080×10456.573
205023	2,5038989317×101.000.004
1000000	8,2639316883×105.565.708
1,0248383838×1098	101,0000000000×10100
1,0000000000×10100	109,9565705518×10101
1,7976931349×10308	105,5336665775×10310
Các giá trị trên được tính bởi OEIS.

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2)....4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

Định nghĩa đệ quy

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

1. 0! = 1
2. (n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

Ví dụ: 3! = 2! x 3 = 6 (mà 2! = 2)

Một số tính chất của giai thừa

1. Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (a^bc) có cùng cơ số và mũ.
2. $\log n! = \sum_{x=1}^n \log x.$
3. $\int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx$
4. $n\log\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1.$
5. $e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.$
6. $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.$ (Công thức Stirling).
7. $n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.$
8. $\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\log(\pi)} {2}.$

Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa

• Công thức tính số tổ hợp :

$C_n^k = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}(0 < k \le n)$

• Công thức tính số chỉnh hợp:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}(0 < k \le n)$

Mở rộng cho tập số rộng hơn

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,{\rm d}t$

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:

$\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,.$

Khi đó ta có:

$z! = \Gamma(z + 1).\,$

Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:

$\Gamma(z)\ = \lim_{n \to \infty}\frac {n^zn!}{\prod_{k = 0}^n (n + k)}$

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:

$\Gamma(z)\ \Gamma(1 - z)\ = \frac {\pi}{\sin ({\pi}z)}$

Thay z = 1/2 ta thu được:

$\Gamma \left(\frac {1}{2} \right)\ = \sqrt{\pi}$

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\,.$

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]$

$\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]$

Giai thừa với số thực

Giai thừa với số thực.

Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:

$z! = \Pi(z) = \Gamma(z+1) \,.$

Như vậy:

$(-0,5)! = \Pi \left(-\frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) \,.$

$(n - 0,5)! = \Pi \left(n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(n + \frac{1}{2} \right) \,.$

$(-n - 0,5)! = \Pi \left(-n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(-n + \frac{1}{2} \right) \,.$

Ví dụ:

• $\Gamma\left (4.5 \right ) = 3.5! = \Pi\left (3.5\right ) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2}\cdot{7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11.63.$
• $\Gamma\left (-2.5 \right ) = (-3.5)! = \Pi\left (-3.5\right ) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0.9453.$

Giai thừa với số phức

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.

Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:

$\Gamma(z) = \sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma^{(k)}(1)}{k!}z^{k-1}\,,$

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

$n$	$g_n$	approximation
0	$1$	$1$
1	$-\gamma$	$- 0.5772156649$
2	$\frac{\pi^2}{12}+\frac{\gamma^2}{2}$	$0.9890559955$
3	$-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi^2\gamma}{12}-\frac{\gamma^3}{6}$	$-0.9074790760$

Ở đây $\gamma$ là hằng số Euler - Mascheroni còn $\zeta$ là hàm zeta Riemann.

• 

  Đồ thị hàm Z = |z!|.

• 

  Đồ thị hàm Z = Re(z!).

• 

  Đồ thị hàm Z = Im(z!).

Các khái niệm tương tự

Giai thừa nguyên tố (primorial)

Xem Giai thừa nguyên tố.

Giai thừa kép

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{khi }n<=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{khi }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!!	1	1	2	3	8	15	48	105	384	945	3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

$(n-2)!!=\frac{n!!}{n}$

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15 ...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

$n!=n!!(n-1)!! \,$

$(2n)!!=2^nn! \,$

$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}$

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!) ....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!^(k), được định nghĩa đệ quy như sau

$n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{khi }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{khi }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.$

Siêu giai thừa(superfactorial)

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

$\mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,$

Tổng quát

$\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (dãy A000178 trong OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

$\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1) =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}$

trong đó $\mathrm{mf}(n,0)=n$ for $n>0$ and $\mathrm{mf}(0,m)=1$.

Giai thừa trên

$x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$