Rot (toán tử)

Trong giải tích vectơ, toán tử rot là một toán tử vectơ mô tả độ xoáy của một trường vectơ. Tại bất kì điểm nào trên trường vectơ, rot được biểu thị bằng một vectơ. Các thuộc tính của vectơ này (độ dài và hướng) nói lên bản chất của độ xoáy tại điểm đó.

Hướng của rot là trục xoay, định bởi luật bàn tay phải, và độ lớn của rot là độ lớn của mức độ xoáy. Nếu trường vectơ tượng trưng cho vận tốc chảy của một chất lỏng đang lưu chuyển, thì rot sẽ là mật độ xoáy của chất lỏng đó. Một trường vectơ với rot bằng zero được gọi là không xoáy.

Thuật ngữ khác được dùng là “rotor” hay “rotational” và các ký hiệu khác $\operatorname{rot}\ \mathbf{F}$ và $\nabla\times\mathbf{F}$ cũng thường được sử dụng cho “rot” và $\operatorname{rot}\ \mathbf{F}$.

Định nghĩa

Rot của một trường vectơ F, ký hiệu là $\operatorname{rot}\ \mathbf{F}$ hay $\nabla \times \mathbf{F}$, tại một điểm được định nghĩa bởi:

$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0} \frac{\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}{A}$

Hướng của vector của tích phân đường

Ở đây $\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ là tích phân đường dọc theo biên của vùng đang xét (i.e., $C=\partial \mathcal A$), và $\,A$ là diện tích của $\mathcal A$. Nếu $\mathbf{\hat{\nu}}$ là vectơ bán kính nằm trong mặt phẳng, mà $\mathbf{\hat{n}}$ là vectơ đơn vị vuông góc với mặt phẳng (xem hình bên), thì hướng của C được chọn sao cho vector $\mathbf{\hat{\omega}}$ tiếp tuyến với C được định hướng dương nếu và chỉ nếu $\{\mathbf{\hat{n}},\mathbf{\hat{\nu}},\mathbf{\hat{\omega}}\}$ tạo thành một hệ tọa độ dương trong R³ (quy luật bàn tay phải).

Công thức trên nghĩa là rot của một trường vecto được định nghĩa như là mật độ lưu chuyển của trường đó. Theo đó

$(\rm{rot\,}\,\mathbf F)\,_3=\frac{1}{a_1a_2}\cdot\left (\frac{\partial (a_2F_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (a_1F_1)}{\partial u_2}\right )\,.$

Nếu $(x_1,x_2,x_3)$ là tọa độ Cartesian và $(u_1,u_2,u_3)$ là tọa độ curvilinear, thì $a_i = \sqrt{\sum \limits_{j = 1}^{3}\left (\frac{\partial x_j}{\partial u_i}\right )^2}$ là độ dài của vectơ tọa độ tương ứng với $u_i$. Hai thành phần còn lại của rot có thể tính từ phép hoán vị chỉ số : 3,1,2 -> 1,2,3 -> 2,3,1.

Diễn giải theo trực giác

Giả sử trường vectơ mô tả trường vận tốc của một dòng chảy (có thể là trong một bồn chứa nước lớn hay bồn khí) và một quả bóng nhỏ được đặt trong chất lỏng hay khí (tâm của của quả bóng được gắn chặt vào một điểm nào đó). Nếu mặt quả bóng xù xì, nó sẽ xoay bởi chất lỏng chảy qua nó. Trục quay (theo quy tắc bàn tay phải) sẽ chỉ hướng của rot của trường vecto tại tâm của quả bóng, và vận tốc góc sẽ bằng phân nửa giá trị của rot tại điểm đó.

Ngay cả khi các dòng chảy là song song, quả bóng có thể bắt đầu xoay nếu chất lỏng bên này chảy nhanh hơn bên kia.

Sử dụng

Trong thực tế, định nghĩa trên ít được dùng vì trong tất cả mọi trường hợp, toán tử rot có thể được đơn giản hóa ngay trong cả trường hợp tọa độ curvilinear.

Kí hiệu $\vec{\nabla} \times \vec{F}$ mặc dù không chính xác nhưng là dạng thường được sử dụng như là một dạng gợi nhớ trong tọa độ Cartesian nếu ta xem $\nabla$ là một toán tử vi phân vectơ del hoặc nabla.

Khai triển trong tọa độ Cartesian $\vec{\nabla} \times \vec{F}$ là, cho F gồm 3 thành phần [F_x, F_y, F_z]:

$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$

mà trong đó i, j, và k là vectơ đơn vị của trục x-, y-, và z. Công thức này được khai triển ra như sau:

$\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}$

Mặc dù được viết dưới hệ tọa độ, kết quả là không thay đổi nếu thay đổi hệ trục tọa độ nhưng kết quả sẽ nghịch đảo qua phép đối xứng.

Trong kí hiệu Einstein, với kí hiệu Levi-Civita rot được viết là:

$(\vec{\nabla} \times \vec{F} )_k = \epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m$

hay là:

$(\vec{\nabla} \times \vec{F} ) = \boldsymbol{\hat{e}}_k\epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m$

với các vecto đơn vị:$\boldsymbol{\hat{e}}_k$, k=1,2,3 tương ứng với $\boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}$, và $\boldsymbol{\hat{z}}$.

Ví dụ

Hằng đẳng thức

Xét ví dụ ∇ × [ v × F ]. Sử dụng tọa độ Cartesian, ta có

$\mathbf{ \nabla \times} \left( \mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F} \ .$

Tham khảo

• Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0120598762.
• Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. tr. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. 

Liên kết ngoài

• The idea of divergence and curl