Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f .Trong toán học , ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.
Nếu x là một phần tử của X , thì f (x )=y (giá trị của f tại x ) được gọi ảnh của x tạo bởi f .
Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con
f
[
A
]
=
{
f
(
x
)
∣
x
∈
A
}
{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}
Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.
Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh ) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi[1]
f
−
1
[
B
]
=
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
∈
B
}
.
{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}
Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y .
Với mọi
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
Hình ảnh
Tiền đề
f
(
X
)
⊆
Y
{\displaystyle f(X)\subseteq Y}
f
−
1
(
Y
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(Y)=X}
f
(
f
−
1
(
Y
)
)
=
f
(
X
)
{\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}
f
−
1
(
f
(
X
)
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
B
⊆
f
(
X
)
{\displaystyle B\subseteq f(X)}
f
{\displaystyle f}
[2] [3]
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}
f
{\displaystyle f}
f
(
f
−
1
(
B
)
)
=
B
∩
f
(
X
)
{\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}
(
f
|
A
)
−
1
(
B
)
=
A
∩
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}
f
(
f
−
1
(
f
(
A
)
)
)
=
f
(
A
)
{\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}
f
−
1
(
f
(
f
−
1
(
B
)
)
)
=
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}
f
(
A
)
=
∅
⇔
A
=
∅
{\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }
f
−
1
(
B
)
=
∅
⇔
B
⊆
Y
∖
f
(
X
)
{\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}
f
(
A
)
⊇
B
⇔
∃
C
⊆
A
:
f
(
C
)
=
B
{\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}
f
−
1
(
B
)
⊇
A
⇔
f
(
A
)
⊆
B
{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}
f
(
A
)
⊇
f
(
X
∖
A
)
⇔
f
(
A
)
=
f
(
X
)
{\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}
f
−
1
(
B
)
⊇
f
−
1
(
Y
∖
B
)
⇔
f
−
1
(
B
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}
f
(
X
∖
A
)
⊇
f
(
X
)
∖
f
(
A
)
{\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}
f
−
1
(
Y
∖
B
)
=
X
∖
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}
f
(
A
∪
f
−
1
(
B
)
)
⊆
f
(
A
)
∪
B
{\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}
[4]
f
−
1
(
f
(
A
)
∪
B
)
⊇
A
∪
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}
f
(
A
∩
f
−
1
(
B
)
)
=
f
(
A
)
∩
B
{\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}
f
−
1
(
f
(
A
)
∩
B
)
⊇
A
∩
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}
f
(
A
)
∩
B
=
∅
⇔
A
∩
f
−
1
(
B
)
=
∅
{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }
Cho hai hàm
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g:Y\rightarrow Z}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
C
⊆
Z
{\displaystyle C\subseteq Z}
(
g
∘
f
)
(
A
)
=
g
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
(
g
∘
f
)
−
1
(
C
)
=
f
−
1
(
g
−
1
(
C
)
)
{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}
Cho hàm
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
A
1
,
A
2
⊆
X
{\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}
B
1
,
B
2
⊆
Y
{\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}
Hình ảnh
Tiền đề
A
1
⊆
A
2
⇒
f
(
A
1
)
⊆
f
(
A
2
)
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}
B
1
⊆
B
2
⇒
f
−
1
(
B
1
)
⊆
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∪
A
2
)
=
f
(
A
1
)
∪
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}
[4] [5]
f
−
1
(
B
1
∪
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∪
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∩
A
2
)
⊆
f
(
A
1
)
∩
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}
f
{\displaystyle f}
[6]
f
−
1
(
B
1
∩
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∩
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∖
A
2
)
⊇
f
(
A
1
)
∖
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
(
B
1
∖
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∖
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
△
A
2
)
⊇
f
(
A
1
)
△
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
(
B
1
△
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
△
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}
Ngoài ra
f
(
⋃
s
∈
S
A
s
)
=
⋃
s
∈
S
f
(
A
s
)
{\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}
f
(
⋂
s
∈
S
A
s
)
⊆
⋂
s
∈
S
f
(
A
s
)
{\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}
f
−
1
(
⋃
s
∈
S
B
s
)
=
⋃
s
∈
S
f
−
1
(
B
s
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
f
−
1
(
⋂
s
∈
S
B
s
)
=
⋂
s
∈
S
f
−
1
(
B
s
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 16
^ See p.39 of Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory.
^ See p.19 of Munkres, James R. (2000). Topology.
^ a b See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
^ Kelley (1985), [//books.google.com/books?id=-goleb9Ov3oC&pg=PA85&dq=%22The+image+of+the+union+of+a+family+of+subsets+of+X+is+the+union+of+the+images%2C+but%2C+in+general%2C+the+image+of+the+intersection+is+not+the+intersection+of+the+images%22
p. 85]
^ See p.21 of Munkres, James R. (2000). Topology.
![{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0252606caa691849fb8e56d74486a185e75bc061)
![{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a130e5a1ea872e75c1058ca861a40b2dda5db)
