Tam giác vuông

Tam giác vuông

Tam giác vuông là một tam giác có một góc là góc vuông (góc 90 độ). Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông là nền tảng cơ bản của lượng giác học.

Thuật ngữ

Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền. Hai cạnh kề với góc vuông là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông). Cạnh a có thể xem là kề với góc B và đối góc A, trong khi cạnh b kề góc A và đối góc B.

Nếu chiều dài của ba cạnh là các số nguyên, tam giác được gọi là tam giác Pythagore và chiều dài của nó được gọi chung là Bộ ba số Pythagore.

Các định lý cơ bản

Diện tích

Với bất cư tam giác nào, diện tích đều bằng một nửa chiều dài đáy nhân với chiều cao tương ứng. Trong một tam giác vuông, nếu một cạnh bên được coi là đáy thì cạnh bên còn lại được xem là chiều cao, diện tích của hình vuông khi đó sẽ bằng một nửa tích giữa hai cạnh bên. Công thức diện tích T là:

$T=\tfrac{1}{2}ab$

Trong đó a và b là hai cạnh bên của tam giác

Nếu vòng tròn nội tiếp tiếp tuyến cạnh huyền AB tại điểm P, coi bán chu vi (a + b + c) / 2 là s, chúng ta có PA = s − a và PB = s − b và diện tích sẽ là

$T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).$

Công thức này chỉ áp dụng với các tam giác vuông.

Đường cao

Đường cao của một tam giác vuông

Nếu một đường cao được vẽ từ đỉnh góc vuông cho tới cạnh huyền thì tam giác vuông được chia thành hai tam giác nhỏ hơn tương tự với tam giác gốc và tương tự với nhau. Từ đó

• Chiều cao là trung bình nhân của hai đoạn cạnh huyền
• Mỗi cạnh của tam giác vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hai đoạn của cạnh huyền kề với cạnh bên.

Công thức được viết là

$\displaystyle f^2=de,$ (Đôi khi được gọi là Định lý đường cao tam giác vuông)

$\displaystyle b^2=ce,$

$\displaystyle a^2=cd$

Trong đó, a, b, c, d, e, f được thể hiện như trong biểu đồ. Do đó

$f=\frac{ab}{c}.$

Hơn nữa, chiều cao với cạnh huyền còn có liên quan tới các cạnh bên của tam giác vuông bằng

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.$

Định lý Pythagore

Hình 3

Định lý Pythagore phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này. (xem hình 3)

Nó được thể hiện bằng phương trình

$\displaystyle a^2+b^2=c^2$

Trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.

Bán kính vòng tròn nội tiếp và bán kính vòng tròn ngoại tiếp

Bán kính của đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông với hai cạnh bên a và b và cạnh huyền c là

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.$

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng chiều dài một nửa cạnh huyền

$R = \frac{c}{2}.$

Tham khảo

• Calculator for right triangles