Không gian định chuẩn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.

Sơ lược về không gian định chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho Ekhông gian vectơ trên trường số D (có thể bằng \mathbb{R} hoặc \mathbb{C} ánh xạ E \to \mathbb{R}

Ta nói \left\Vert. \right\Vert là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:

(1)||x||\geq0\quad x\in E;, ||x||=0\Leftrightarrow x=0
(2)||kx||=|k|.||x||;\quad\forall x\in E,k\in\mathbb{R}
(3)||x+y||\leq||x||+||y||,\quad\forall x,y\in E

Nếu \left\Vert. \right\Vert là chuẩn trên E, ta nói  (E,\left\Vert. \right\Vert) là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn). [1]

Một số ví dụ về chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

  • Không gian \R^2 với các metric:
d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|
d_2(x,y) = [(x_1 - y_1)2 + (x_2 - y_2)2]1/2
d_{\infty}(x,y) = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}

lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

\left\Vert x-y \right\Vert _1  = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|
\left\Vert x-y \right\Vert _2 = [(x_1 - y_1)2 + (x_2 - y_2)2]1/2
\left\Vert x-y \right\Vert _{\infty} = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}
  • Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn \left\Vert \right\Vert _p sau;

Khi p=1;

 \|f\|_p = \left(\int_0^1 |f(t)| dt\right)

Khi  1 < p < \infty ;

 \|f\|_p = \left(\int_0^1 |f(t)|^p dt\right)^{1/p}

Khi  p = \infty ;

 \|f\|_p = \inf \lbrace{ \lambda: |f(x)|\leq \lambda \qquad h.k.n \rbrace}
  • Không gian các hàm liên tục f từ \mathbb{R}^m vào \mathbb{R}^n và khả tích với chuẩn \left\Vert \right\Vert sau;

Khi n=1;

 \|f\| = \left(\int_0^1 |f(t)| dt\right)

Khi  1 < n < \infty ;

 \|f\| = \left(\int_0^1 \sum_{k=1}^n(f_{k}(t))^2 dt\right)^{1/2}

Khi  n = \infty ;

 \|f\|= \sup \lbrace{ |f_{k}(x)|: x\in \mathbb{R}^m, k\in \mathbb{N} \rbrace}

Trong đó

 x=(x_1,...,x_m), f=(f_1(x),...,f_n(x))
\lbrace{f_i(x) \rbrace}_{1\leq i \leq n}: \mathbb{R}^m  \to  \mathbb{R},
x_i \in \mathbb{R}, \qquad \forall i \in \overline{1,..,m}

Các định nghĩa, định lý liên quan khác[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric[sửa | sửa mã nguồn]

Cho (E,d(.,.))không gian mêtric, ta nói chuẩn \left\Vert \right\Vert tạo bởi metric d(.,.) tức là:

\left\Vert x-y \right\Vert = d(x,y),\qquad \forall x,y \in E

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) là không gian định chuẩn; a\in E  r>0.

B(a,r)=\left\{ x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert <r\right\}

B'(a,r)=\left\{ x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert \leq r\right\}

Khi đó ta gọi B(a,r)B'(a,r) lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm a bán kính r trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) [2]

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật[sửa | sửa mã nguồn]

Cho \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) là không gian định chuẩn; a\in E  A \subset E.

Ta nói:

A là tập mở trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu có họ các quả cầu mở \lbrace{ B(a_i,r_i) \rbrace}_{i\in I} trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) sao cho:

 A=\cup_{i \in I}B(a_i,r_i) .

A là tập đóng trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu  E \ A là tập mở trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right).

A là tập bị chận trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu có quả cầu đóng  B'(a_i,r_i) trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) sao cho:

 A \subset B'(a_i,r_i) .[3]

A là tập trù mật trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu  cl(A) = E [4]

Liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A là tập con trong không gian định chuẩn \left(E,\left\Vert \right\Vert_{E} \right) x\in Af: A\rightarrow\left(F,\left\Vert.\right\Vert _{F}\right).

Ta nói:

f liên tục tại x nếu \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 sao cho \left\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\Vert <\epsilon,\qquad \forall y\in A, y\in B(x,\delta)

f liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi y \in A [5]

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

f liên tục trên A nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong F có tập mở U trong E sao cho

f^{-1}(V)=A \cap U [6]

Dãy hội tụ, Cauchy[sửa | sửa mã nguồn]

Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt x_n=f(n); \forall n \in \mathbb{N} và cho a \in E.

Khi đó \lbrace{x_n \rbrace} là dãy trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right).

Dãy \lbrace x_n{ \rbrace}dãy hội tụ về a trong E nếu và chỉ nếu:

\forall \epsilon > 0 , ta tìm được  N (\epsilon) \in \mathbb{N} sao cho  \left\Vert x_n - a \right\Vert  < \epsilon; \qquad \forall n > N (\epsilon)

Lúc đó, a là giới hạn của dãy \lbrace{x_n \rbrace} .

Dãy \lbrace x_n{ \rbrace}dãy Cauchy trong E nếu và chỉ nếu:

\forall \epsilon > 0 , ta tìm được  N (\epsilon) \in \mathbb{N} sao cho  \left\Vert x_n - x_m \right\Vert  < \epsilon; \qquad \forall n >m> N (\epsilon)

Nếu dãy \lbrace x_n{ \rbrace} là dãy hội tụ trong E thì nó sẽ Cauchy trong E.

Nếu mọi dãy \lbrace x_n{ \rbrace} Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) thì Ekhông gian Banach.[7]

Ví dụ:

Dãy  \lbrace{ \frac{1}{n}: n  \in \mathbb{Z}^{+}\rbrace} trong \mathbb{R} \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong \mathbb{R}\ 0 với không gian định chuẩn \left(\mathbb{R},\left\Vert \right\Vert \right) (\left\Vert x-y \right\Vert = |x-y|).

Chuẩn tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau: Cho 2 chuẩn  \left\Vert.\right\Vert _{1},\left\Vert.\right\Vert _{2} trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại \alpha, \beta >0 sao cho:

 \alpha\left\Vert u\right\Vert _{1}\leq\left\Vert u\right\Vert _{2}\leq\beta\left\Vert u\right\Vert _{1}

với mọi  u \in E [8]

Ví dụ Với các chuẩn sau trên \mathbb{R}^{n} sau:

 \left\Vert x\right\Vert _{2}=\left(\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}x_{k}^{2}\right)^{1/2}
 \left\Vert x\right\Vert _{1}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\left|x_{k}\right|
 \left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\underset{1\leq k\leq n}{\max}\left|x_{k}\right|

trong đó x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n} . Ta có:

 \left\Vert x\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert x\right\Vert _{2}\leq\left\Vert x\right\Vert _{1}\leq n\left\Vert x\right\Vert _{\infty}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, trang 9
  2. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.8, trang 11
  3. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 11
  4. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 12
  5. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.11, trang 13
  6. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 13
  7. ^ ương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 10
  8. ^ Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, NXB Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008, trang 55

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, NXB Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008
  • Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2005
  • Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology [1]. Ho Chi Minh city University of Science