Trường (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trường cùng với nhómvành là các cấu trúc đại số cơ bản trong đại số trừu tượng.

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Trường (đại số) là một tập F trên đó có hai phép toán cộngnhân thỏa mãn:

  1. Fnhóm giao hoán với phép cộng
  2. Fnhóm giao hoán với phép nhân
  3. Trên F, phép nhân phân phối với phép cộng

Chi tiết hơn các điều kiện trên, ta có thể kể ra các tiên đề của trường như sau:

Trường là một tập hợp F \ne \emptyset trên đó xác định hai phép toán cộng và nhân:

Phép cộng (+): F \times F \to F: (a,b) \mapsto a+b
Phép nhân (×): F \times F \to F: (a,b) \mapsto a \cdot b
thoả mãn các tiên đề sau:
  1. Phép cộng có tính kết hợp: \forall a,b,c \in F, (a+b)+c = a+(b+c);
  2. Phép cộng có tính giao hoán: \forall a,b \in F, a+b=b+a;
  3. Tồn tại phần tử 0: \exists 0 \in F, \forall a\in F, a+0=0+a=a;
  4. Tồn tại phần tử đối: \forall a \in F, \exists (-a) \in F, a+(-a)=(-a)+a=0;
  5. Phép nhân có tính kết hợp: \forall a,b,c \in F, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c);
  6. Phép nhân có tính giao hoán: \forall a, b \in F, a \cdot b = b \cdot a;
  7. Tồn tại phần tử đơn vị: \exists 1 \in F, 1 \ne 0, \forall a \in F, a \cdot 1 = 1 \cdot a = a;
  8. Tồn tại phần tử nghịch đảo: \forall a \in F, a \ne 0, \exists a^{-1} \in F, a^{-1} \cdot a = a \cdot a^{-1} = 1;
  9. Phép nhân phân phối với phép cộng: \forall a,b,c \in F, a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các trường hữu hạn có vai trò to lớn trong lý thuyết Galois.
  • Trường có ít phần tử nhất là trường chỉ gồm duy nhất một phần tử 0. Tiếp theo là trường chỉ gồm hai phần tử 0 và 1 với phép cộng và phép nhân modulo 2.

Các trường hợp không phải là trường[sửa | sửa mã nguồn]

  • Mọi tập {\mathbb Z}_n với phép cộng và phép nhân modulo n trong đó n là hợp số không là một trường.

Trường con[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử F là một trường. Tập con E \subset F được gọi là trường con của F nếu chính E là một trường với cùng phép toán trong F. Định lý: Cho F là một trường và tập con E \subset F có nhiều hơn một phần tử. Các điều kiện sau là tương đương.

  1. E là trường con của F
  2. \forall a,b \in E: a+b \in E, a.b \in E, -a \in E và nếu a \ne 0: a^{-1} \in E
  3. \forall a,b \in E: a-b \in E và nếu b \ne 0: a.b^{-1} \in E
  • Ví dụ:
    • Trường số hữu tỷ \mathbb Q là trường con của trường số thực, \mathbb R trường số thực là trường con của trường số phức \mathbb C.
    • Tập A \subset \mathbb R
A= \left \{ a + b.\sqrt 2 \;|\; a,b \in \mathbb Q \right \}
là trường con của \mathbb R.
    • Tập các ma trận cấp 2 dạng
\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}
với phép cộng và nhân ma trận là một trường và tập các ma trận dạng
\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} là trường con của nó.

Nhưng đôi khi E không phải là trường con của F nếu E\subset \mathbb{Z} và F là một trường.

Trường các thương[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê