Trường đóng đại số

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một trường F được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩnbậc khác không, với hệ số trong F, có nghiệm trong F.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức

x^2+1=0

không có nghiệm thực, mặc dù cả ba hệ số của nó (1, 0 và 1) là số thực. Cũng vì thế trường các số hữu tỷ không là đóng đại số. Tất cả các trường hữu hạn F không là đóng đại số vì nếu a_1, a_2, …, a_n là các phần tử của F, thì đa thức

(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\,

luôn khác không trên F.

Trường số phức là trường đóng đại số theo định lý cơ bản của đại số. Một ví dụ khác của một trường đóng đại số là trường các số (phức) đại số.

Các tính chất tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Trường F là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

  • Mọi đa thức p(x) có bậc n ≥ 1, với hệ số trong F phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử kx_1x_2, …, x_n của trường F sao cho
p(x)=k(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n).\,
  • Mọi hàm hữu tỷ của một biến x, với hệ số trong F, có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng a/(x-b)^n, trong đó n là số tự nhiên, và a, b là các phần tử của F.

Các tính chất khác[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu F là một trường đóng đại số, a là phần tử của F, và n là số tự nhiên, thì a có một căn bậc nth trong F(vì phương trình x^n-a=0 có nghiệm trong F. Tuy thế, có những trường có căn bậc nth (với mọi số tự nhiên n) nhưng không là trường đóng đại số.

Theo bổ đề Zorn, mọi trường Fbao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa F như một trường con.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong đại số
Các bất biến đại số | Các đa thức | Các đại số mang tên người | Các đẳng thức đại số | Các đường cong đại số | Các đường cong elíp | Các nhân thức | Các nhóm sóng | Các phép biến đổi đại số | Các phương trình đại số | Các tính chất đại số | Các tổng đại số | Cyclotomy | Dạng bình phương | Đại số homology | Đại số phi giao hoán | Đại số tuyến tính | Đại số tổng quát | Đại số véctơ | Đại số vô hướng | Hình học đại số | Lý thuyết giá trị | Lý thuyết mã hoá | Lý thuyết nhóm | Lý thuyết số | Lý thuyết trường đại số | Lý thuyết vòng