Số hữu tỉ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Một phần tư

Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số (thương) a/b, trong đó ab là các số nguyên nhưng b\ne0. Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu là \mathbb Q

\mathbb{Q} = \left\{x | x = \frac{m}{n}; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z^*}\right\}

Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

Các số thực không phải là số hữu tỷ được gọi là các số vô tỷ.

Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q,vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3,2/6,3/9... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.

Biểu diễn số hữu tỷ[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi biểu diễn số hữu tỷ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ:

\frac{2}{25} = 0,08
\frac{5}{7} = 0,71428571428571428571428571428571...\,
= 0,(714285)\,
\frac{24}{17} = 1,4117647058823529411764705882353...\,
= 1,(4117647058823529)\,

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|.

Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỷ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Biểu diễn bằng liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một số thực là số hữu tỷ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là hữu hạn.

Số hữu tỉ trong quan hệ với các tập hợp số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Các tập hợp số
\mathbb N: Tập hợp số tự nhiên
\mathbb Z: Tập hợp số nguyên
\mathbb Q: Tập hợp số hữu tỉ
\mathbb R: Tập hợp số thực
\mathbb I = \R \setminus \mathbb Q: Tập hợp số vô tỉ

Ta có \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R

Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỷ như trường các thương của \mathbb{Z}.

Xét tập tích Decaters:

\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*=\{(a; b)| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \}

Trên đó xác định một quan hệ tương đương:

\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \Leftrightarrow  ad = bc

lớp tương đương của cặp (a, b) được ký hiệu là a/p và gọi là thương của a cho b.

a/b = {\left [ (a,b) \right]}_{\sim}

Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là \mathbb Q. Trên tập \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^* định nghĩa các phép toán:

\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)
\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)

Khi đó nếu \left(a, b \right)\sim \left(a', b'\right)\left(c, d\right) \sim \left(c', d'\right)

thì \left(a, b \right)+\left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right)+\left(c', d'\right);
\left(a, b \right)\times \left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right) \times \left(c', d'\right).

Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghia là tập \mathbb{Q}.

Để xem \mathbb Z là bộ phận của  \mathbb Q ta nhúng \mathbb Z vào \mathbb Q nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong \mathbb Q.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]