0,999...

Trong toán học, số thập phân tuần hoàn 0,999... hay còn được viết $\mbox{0,}\bar{9} ; \mbox{0,}\dot{9}$ hoặc $\mbox{0,(9)}\,\!$ là một số thực bằng 1. Nói cách khác: kí hiệu 0,999... và 1 đều thể hiệu cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều sách giáo khoa. Nhiều cách chứng minh khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được ccông nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như vi phân: một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số p-adic.

Chứng minh

Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.

Số học

Phân số và phép chia

Ta có:

$\begin{align} \mbox{0,333}\dots &{} = \frac{1}{3} \\ 3 \times \mbox{0,333}\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ \mbox{0,999}\dots &{} = 1 \end{align}$

$\begin{align} \mbox{0,111}\dots & {} = \frac{1}{9} \\ 9 \times \mbox{0,111}\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ \mbox{0,999}\dots & {} = 1 \end{align}$

Một phiên bản rút gọn khác:

$1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times \mbox{0,111}\dots = \mbox{0,999}\dots$

Cả hai phép chứng minh đều cho thấy giá trị của 0,999... phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có ³/₃ = 1, và ³/₃ = 0,999…. Do đó, 0,999… phải bằng 1.

Biến đổi số học

Đặt:

$\begin{align} x &= \mbox{0,999}\ldots \\ 10 x &= \mbox{9,999}\ldots \\ 10 x - x &= \mbox{9,999}\ldots - \mbox{0,999}\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \\ \mbox{0,999}\ldots &= 1 \end{align}$

Vấn đề liên quan

• Nghịch lý Zeno

Con rùa bò trước chàng lực sĩ Asin. Dù Asin chạy rất nhanh nhưng không bao giời đuổi kịp rùa vì mỗi lần chàng đến nơi rùa đã đến thì nó đã kịp bò một đoạn. Do đó dù khoảng cách giữa chàng và rùa ngày càng rút ngắn nhưng Asin vẫn không theo kịp rùa. Điều này có thể giải quyết đơn giản bằng cách tìm giới hạn của tổng vô hạn các số dãy số có cấp số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Ví dụ:

$\lim_{n\to\infty} \frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14} = \frac{1}{1-\frac14} = \frac43.$

Tổng vô hạn các số hạng trong dãy số:

$1+\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots = \frac43.$

• Chia cho không

Nếu công nhận số có thể chia cho 0 và thì sẽ xảy ra nhiều nghịch lý. Ví dụ:

$+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty$

• Số âm không

một con số tồn tại trong máy tính, phát sinh do một số phương pháp biểu diễn số nguyên âm và hầu hết các phương pháp biểu diễn số chấm động (floating point). Toán học không có định nghĩa tương đương về số âm không, do đó, −0 và 0 là hoàn toàn như nhau. Trong các khoa học khác, −0 có thể được sử dụng để biểu thị một số lượng nhỏ hơn không, nhưng không đáng kể, nên không thể làm tròn thành một con số có nghĩa.

Xem thêm

• Vô hạn
• Giải tích thực
• Chuỗi (toán học)

Tham khảo

• Alligood, Sauer, and Yorke (1996). "4.1 Cantor Sets". Giới thiệu về hệ thống thập phân. Springer. ISBN 0-387-94677-2. 

  Sách giáo khoa này giới thiệu về hệ thống số thập phân nhắm đến sinh viên đại học chưa tốt nghiệp phổ thông và sinh viên mới tốt nghiệp. (p.ix)

• Apostol, Tom M. (1974). Giải tích toán học (ấn bản 2e). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4. 

  Một sự chuyển tiếp từ phép tính toán thông thường sang giải tích, Giải tích toán học với mục đích "trung thực, chặt chẽ, cập nhật và không quá hàn lâm." (pref.)

• Bartle, R.G. and D.R. Sherbert (1982). Giới thiệu giải tích toán học. Wiley. ISBN 0-471-05944-7. 
• Beals, Richard (2004). Giải tích. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
• Berlekamp, E.R.; J.H. Conway; and R.K. Guy (1982). Trò chơi Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press. ISBN 0-12-091101-9. 
• Berz, Martin (1992). "Vi phân trong giải tích nhóm số chín". Computer Arithmetic and Enclosure Methods: 439–450, Elsevier. 
• Bunch, Bryan H. (1982). Ngụy biện và nghịch lý toán học. Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-24905-5. 
• Burrell, Brian (1998). Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster. ISBN 0-87779-621-1. 
• Conway, John B. (1978) [1973]. Hàm số của một đại lượng biến thiên I (ấn bản 2e). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3. 
• Davies, Charles (1846). The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications. A.S. Barnes. http://books.google.com/books?vid=LCCN02026287&pg=PA175. 
• DeSua, Frank C. (November 1960). "Hệ thống đẳng cấu đến thực tế". The American Mathematical Monthly 67: 900–903. doi:10.2307/2309468. 
• Dubinsky, Ed, Kirk Weller, Michael McDonald, and Anne Brown (2005). "Một số vấn đề lịch sử và nghịch lý đề cập đến khái niệm vô hạn: giải tích APOS: phần 2". Educational Studies in Mathematics 60: 253–266. doi:10.1007/s10649-005-0473-0. 
• Edwards, Barbara and Michael Ward (May 2004). "Ngạc nhiên từ nghiên cứu Toán học" (PDF). The American Mathematical Monthly 111: 411–425. doi:10.2307/4145268. http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf. 

Liên kết ngoài

• 0,999999… = 1? từ cut-the-knot
• Tại sao 0.9999… = 1 ?
• Hỏi một nhà khoa học: Số thập phân tuần hoàn
• Phép chứng minh số học
• Chín vô hạn
• Chín vô hạn bằng một
• Nghiên cứu của David Tall về sự nhận thức toán học
• Có gì sai khi nghĩ rằng số thực là thập phân vô hạn?
• Định lý 0,999... trên Metamath
• Hackenstrings, và 0.999... ?= 1 FAQ