Số siêu phức

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, số siêu phức là khái niệm mở rộng của số phức từ dạng tổ hợp tuyến tính 2 chiều z = a + b.i với các hệ số thực a, b của hai đơn vị cơ sở 1 và i sang không gian vectơ n chiều với n hệ số thực x0, x1, x2,..., xn-1, của n đơn vị cơ sở 1, e1, e2, e3,..., en-1:

z = x0.1 + x1.e1 + x2.e2 +... + xn-1.en-1

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Phép tính[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép cộngtrừ số siêu phức được định nghĩa theo tọa độ tương tự như phép cộng và trừ vectơ trong không gian n chiều.
  • Phép nhân hai số siêu phức: xác định giá trị của (n-1)2 tích ei.ej, còn các tích của ei với 1 được đặt một cách tự nhiên (1.ei = ei.1 = ei)
Tính chất: Phép nhân số siêu phức không có tính giao hoán, do đó, các tập hợp số siêu phức không phải là trường số.

Các bộ số siêu phức[sửa | sửa mã nguồn]

Mô tả số siêu phức bộ bốn trong hệ tọa độ bốn chiều,
ij = k, ji = -k, ij = -ji
  • Bộ bốn (en:Quaternion) là số siêu phức với số chiều n=4 có dạng x = a + bi + cj + dk với a, b, c, và d là các số thực còn i, j và k là các số bộ bốn đặc biệt được định nghĩa như sau:
  1. 1i = i1 = i; 1j = j1 = i; 1k = k1 = i
  2. i^2 = j^2 = k^2 = -1

Số y = a - bi -cj -dk là số siêu phức bộ bốn liên hợp với x = a + bi + cj + dk

Phép nhân số siêu phức bộ bốn có tính kết hợp nhưng không giao hoán và không có ước của không. Định lý Frobenius (en:Frobenius theorem (real division algebras)) khẳng định rằng chỉ có trường số thực, trường số phức và vành số siêu phức bộ bốn mới có tính kết hợp trong phép nhân vô hướng với một số thực mà thôi.

Số siêu phức bộ bốn được William Rowan Hamilton nghiên cứu và đề xuất trong khi tìm tòi mở rộng trường số phức.

1 i j k l il jl kl
i −1 k j il l kl jl
j k −1 i jl kl l il
k j i −1 kl jl il l
l il jl kl −1 i j k
il l kl jl i −1 k j
jl kl l il j k −1 i
kl jl il l k j i −1
× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11
e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10
e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8
e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6
e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2
e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Tiếng Anh:

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê