Định lý cơ bản của đại số

Trong Toán học, định lý cơ bản của Đại số khẳng định rằng mọi đa thức một biến khác hằng số với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Điều đó tương đương với trường số phức có tính đóng đại số.

Định lý này đôi lúc còn được phát biểu dưới dạng : mọi đa thức một biến khác đa thức không với hệ số phức có số nghiệm phức bằng bậc của nó, nếu mỗi nghiệm được tính với số bội của nó.

Mặc dù với tên gọi là "Định lý cơ bản của đại số", không có một chứng minh "thuần đại số" cho định lý này. Mọi chứng minh đều phải sử dụng tính đầy đủ của tập số thực (hoặc các dạng tương đương của tính đầy đủ). Thêm vào đó, nó không cơ bản với đại số hiện đại, định lý này được đặt tên khi nội dung chính của đại số vào thời điểm đó là giải các phương trình đa thức hệ số thực hoặc phức.

Lịch sử

Peter Rothe (Petrus Roth), trong cuốn sách Arithmetica Philosophica của ông (xuất bản năm 1608) đã viết rằng một đa thức bậc n (với hệ số thực) có thể có n nghiệm. Albert Girard, trong quyển sách L'invention nouvelle en l'Algèbre (xuất bản năm 1629), khẳng định rằng một phương trình đa thức bậc n có n nghiệm, nhưng ông không nói rằng chúng phải là số thực. Hơn nữa, ông nói rằng khẳng định của ông xảy ra "trừ khi phương trình không đầy đủ", tức là không có hệ số nào bằng 0. Tuy nhiên, khi ông giải thích chi tiết ý của ông, rõ ràng rằng ông tin khẳng định của ông là luôn luôn đúng; ví dụ, ông chỉ ra rằng phương trình $x^4=4x-3$, mặc dù không đầy đủ nhưng nó có 4 nghiệm : 1 (nghiệm bội hai), −1 + i√2, và −1 − i√2.

Như được đề cập bên dưới, từ định lý cơ bản của đại số, ta suy ra rằng mọi đa thức hệ số thực khác hằng số có thể viết dưới dạng tích của các đa thức hệ số thực bậc 1 hoặc 2. Tuy nhiên, năm 1702, Leibniz khẳng định rằng không một đa thức nào có dạng $x^4+a^4$ (với a thực và khác 0) có thể viết như vậy. Sau đó, Nikolaus Bernoulli khẳng định tương tự với đa thức x⁴ − 4x³ + 2x² + 4x + 4, nhưng ông nhận được một bức thư từ Euler vào năm 1742, trong đó, Euler nói rằng đa thức đó có thể viết dưới dạng

$\left(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha \right) \left(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha \right)$

trong đó α là căn bậc hai của 4 + 2√7. Euler cũng chú ý rằng

$x^4+a^4=\left(x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right) \left(x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right)$

Cố gắng đầu tiên để chứng minh định lý thuộc về d'Alembert vào năm 1746, tuy nhiên chứng minh của ông không được hoàn thành. Các thử nghiệm khác được thực hiện bởi Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), và Laplace (1795). Trong điều kiện hiện đại, Euler, de Foncenex, Lagrange và Laplace đã giả định sự tồn tại của một trường chia tách của đa thức p(z).

Liên kết ngoài

• BKTT VN
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra