Số hữu tỉ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

(đổi hướng từ Phân số)
Bước tới: menu, tìm kiếm
Một phần tư
Một phần tư

Trong toán học, số hữu tỉ là các số thực x có thể biểu diễn dưới dạng phân số (thương) a/b, trong đó a và b là các số nguyên, với b khác không.

\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n}: m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

Khi biểu diễn số hữu tỷ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ:

2/25 = 0.08
5/7 = 0.71428571428571428571428571428571... = 0.(714285)
24/17 = 1.4117647058823529411764705882353... = 1.(4117647058823529)

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt qua giá trị tuyệt đối của b. Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

Các số thực không phải là số hữu tỷ được gọi là các số vô tỷ.

Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q,vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3,2/6,3/9 ... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.

Mục lục

[sửa] Số học trên tập các số hữu tỷ

  • Hai phân số \frac {a} {b} và \frac {c} {d} là bằng nhau nếu a.d=b.c.
  • Quy tắc cộng, trừ, nhân và chia các số hữu tỷ viết dưới dạng phân số:
\frac {a} {b}+\frac {c} {d}=\frac {ad+bc} {bd}
\frac {a} {b}-\frac {c} {d}=\frac {ad-bc} {bd}
\frac {a} {b}.\frac {c} {d}=\frac {a.c} {b.d}
\frac {a} {b}/\frac {c} {d}=\frac {a.d} {b.c}
  • Nếu \frac {a} {b} = \frac {c} {d} thì:
\frac {a} {b} = \frac {c} {d} = \frac {a+c} {b+d} = \frac {a-c} {b-d}
  • Muốn tìm giá trị phân số \frac {a} {b} của một số m, ta lấy m × \frac {a} {b} .

Muốn tìm một số biết giá trị phân số \frac {a} {b} của nó bằng m, ta lấy m ÷ \frac {a} {b}

[sửa] Số hữu tỷ trong quan hệ với các tập hợp số khác

Các tập hợp số
Các tập hợp số
\mathbb N: Tập hợp số tự nhiên
\mathbb Z: Tập hợp số nguyên
\mathbb Q: Tập hợp số hữu tỉ
\mathbb R: Tập hợp số thực
\mathbb I = \R \setminus \mathbb Q: Tập hợp số vô tỉ

Ta có \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R

[sửa] Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên

Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỷ như trường các thương của \mathbb{Z}.

Xét tập tích Decaters:

\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*=\{(a ; b)| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \}

Trên đó xác định một quan hệ tương đương:

\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right ) \Leftrightarrow ad = bc

lớp tương đương của cặp (a, b) được ký hiệu là a/p và gọi là thương của a cho b.

a/b = {\left [ (a,b) \right]}_{\sim}

Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là \mathbb Q. Trên tập \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^* định nghĩa các phép toán:

\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)
\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)

Khi đó nếu \left(a, b \right)\sim \left(a', b'\right) và \left(c, d\right) \sim \left(c', d'\right)

thì \left(a, b \right)+\left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right)+\left(c', d'\right) ;
và \left(a, b \right)\times \left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right) \times \left(c', d'\right) .

Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghia là tập \mathbb{Q}.

Để xem \mathbb Z là bộ phận của \mathbb Q ta nhúng \mathbb Z vào \mathbb Q nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong \mathbb Q.

[sửa] Xem thêm

[sửa] Liên kết ngoài

 Bài này còn sơ khai trong lĩnh vực toán học.
Chúng ta đang có những nỗ lực để hoàn thiện bài này.
Nếu bạn biết về vấn đề này, bạn có thể giúp đỡ bằng cách viết bổ sung (trợ giúp).
Lấy từ “http://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89”
Công cụ cá nhân