Đa giác đều

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Set of regular p-gons

Triangle.Equilateral.svgSquare diagonals.svgPentagon.svgHexagon.svg
Heptagon.svgOctagon.svgEnneagon.svgDecagon.svg
Regular polygons

cạnh và các đỉnh p
Công thức Schläfli {p}
Coxeter–Dynkin diagram CDW ring.pngCDW p.pngCDW dot.png
Nhóm đối xứng Dihedral symmetry (Dp)
Dual polyhedron Self-dual
Diện tích
(with t=edge length)
A=\frac{pt^2}{4\tan(\pi/p)}
Độ lớn của một góc trong
(độ)
\left(1-\frac{2}{p}\right)\times 180
Tổng độ lớn của các góc trong
(độ)
\left(p-2\right)\times 180

Trong hình học Euclide, đa giác đềuđa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau.Đa giác đều được chia làm hai loại là: đa giác lồi đều và đa giác sao đều.

Tính chất tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Các tình chất này được áp dụng cho cả hình đa giác lồi đều và hình đa giác sao đều.

Tất cả các đỉnh của đa giác đều đều nằm trên một đường tròn. Chúng là các điểm đồng viên. Tất cả các đa giác đều đều có một đường tròn ngoại tiếp

Cũng với tính chất độ dài các cạnh của đa giác đều thì bằng nhau, kéo theo rằng tất cả các đa giác đều đều có các đường tròn nội tiếp.

Một đa giác đều n cạnh có thể được dựng bằng compa và thước kẻ khi và chỉ khi các thừa số nguyên tố lẻ của n khác số nguyên tố Fermat.

Tính đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

Nhóm đối xứng của đa giác đều n cạnh được gọi theo tên tiếng anh là nhóm dihedral group Dn: D2, D3, D4,... Nó bao gồm sự quay quanh tâm Cn (tâm đối xứng), cùng với tính đối xứng của n trục đi qua tâm này. Nếu n là chẵn thì một nửa số trục đối xứng đi qua hai đỉnh đối nhau của đa giác và nửa còn lại đi qua trung điểm của hai cạnh đối. Nếu n là lẻ thì tất cả các trục đới xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện ới đỉnh ấy.

Đa giác lồi đều[sửa | sửa mã nguồn]

Tất các đa giác đơn đều (một đa giác đơn là một đa giác mà không tự cắt)là các đa giác lồi đều. Các đa giác mà có cùng số đo các cạnh thì đồng dạng.

Một đa giác lồi đều n cạnh được chỉ rõ bởi công thức Schläfli của nó: {n}.

Tam giác đều
Các cạnh của tam giác đều
Hình vuông
Tứ giác đều
Ngũ giác đều
Cách vẽ hình ngũ giác đều
Lục giác đều
Lục giác đều
Thất giác đều
Cách vẽ hình 7 cạnh đều

Trong một số hoàn cảnh các đa giác đã được xét đến đều là các đa giác đều. Trong nhiều trường người ta thường bỏ chữ đều đi. Ví dụ như mọi mặt của đa diện đều có thể là các hình đa giác đều như: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, etc.

Góc[sửa | sửa mã nguồn]

Với một đa giác đều n đỉnh, đỉnh trong được tính bằng công thức:

(1-\frac{2}{n})\times 180 (hay bằng với (n-2)\times \frac{180}{n}) độ,

hay \frac{(n-2)\pi}{n} độ radian,

hay \frac{(n-2)}{2n} tính theo vòng,

và với mỗi góc ngoài (kề bù với góc trong)được tính theo công thức \frac{360}{n} độ, với tổng của các góc ngoài bằng 360 độ hay 2π độ radian hay vòng quay.

Đường chéo[sửa | sửa mã nguồn]

Với n > 2 số đường chéo là \frac{n (n-3)}{2}\n=0, 2, 5, 9,... Chúng chia đa giác thành 1, 4, 11, 24,... phần.

Diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Trung đoạn của lục giác đều

Diện tích A của đa giác lồi đều n cạnh là:

theo độ

A=\frac{nt^2}{4\tan(\frac{180}{n})},

hay theo độ radian A=\frac{nt^2}{4\tan(\frac{\pi}{n})},

với t là độ dài của một cạnh.

Nếu biết bán kính, hay độ dài đoạn thẳng nối tâm với một đỉnh, diện tích là: tính theo độ

A=\frac{nr^2sin(\frac{360}{n})}{2}

hay theo độ radian

A=\frac{nr^2sin(\frac{2 \pi}{n})}{2},

với r là độ lớn của bán kính

Đồng thời, diện tích cũng bằng nửa chu vi nhân với độ dài của trung đoạn, a, (đoạn vuông góc hạ từ tâm của đa giác xuống một cạnh). Vì vây ta có A = a.n.t/2, với chu vin.t, và ở dạng đơn giản hơn 1/2 p.a.

Với cạnh t=1, ta có:

theo độ

\frac{n}{4\tan(\frac{180}{n})}

hay theo độ radian (n khác 2)

{\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)

giá trị được viết trong bảng sau:

Số cạnh tên hình Diện tích chính xác Xấp Xỉ
3 tam giác đều \frac{\sqrt{3}}{4} 0.433
4 hình vuông 1 1.000
5 ngũ giác đều \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1.720
6 lục giác đều \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2.598
7 thất giác đều   3.634
8 bát giác đều 2 + 2 \sqrt{2} 4.828
9 cửu giác đều   6.182
10 thập giác đều \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7.694
11 đa giác đều 11 đỉnh   9.366
12 đa giác đều 12 đỉnh 6+3\sqrt{3} 11.196
13 đa giác đều 13 đỉnh   13.186
14 đa giác đều 14 đỉnh   15.335
15 đa giác đều 15 đỉnh \frac{15}{4}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}} 17.642
16 đa giác đều 16 đỉnh 4+4\sqrt{2}+4\sqrt{4+2\sqrt{2}} 20.109
17 đa giác đều 17 đỉnh   22.735
18 đa giác đều 18 đỉnh   25.521
19 đa giác đều 19 đỉnh   28.465
20 đa giác đều 20 đỉnh 5+5\sqrt{5}+5\sqrt{5+2\sqrt{5}} 31.569
100 đa giác đều 100 đỉnh   795.513
1000 đa giác đều 1000 đỉnh   79577.210
10000 đa giác đều 10000 đỉnh   7957746.893

The amounts that the areas are less than those of circles with the same perimeter, are (rounded) equal to 0.26, for n<8 a little more (the amounts decrease with increasing n to the limit π/12).

Đa giác sao đều[sửa | sửa mã nguồn]

Hình sao 5 cánh {5/2}

Một đa giác đều không lồi là một đa giác sao đều. Ví dụ phổ biến nhất là hình sao 5 cánh, có cùng số đỉnh với ngũ giác đều, nhưng có cách nối các đỉnh khác.

Với một đa giác sao n cạnh, công thức Schläfli được sửa cho phù hợp với dạng hình sao m của đa giác, ví dụ như {n/m}. Nếu m bằng 2, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 2 đỉnh. Nếu m bằng 3, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 3 đỉnh. Đường biên của đa giác đi quanh tâm m lần, và m đôi khi còn được gọi là mật độ của đa giác sao đều.

Một vài ví dụ:

  • Sao 5 cánh đều- {5/2}
  • Sao 7 cánh đều- {7/2} và {7/3}
  • Sao 8 cánh đều- {8/3}
  • Sao 9 cánh đều- {9/2} và {9/4}
  • Sao 10 cánh đều- {10/3}
  • Sao 11 cánh đều- {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}

mn phải nguyên tố cùng nhau, hoặc hình sẽ suy biến. Phụ thuộc vào nguồn gốc rõ ràng của công thức Schläfli, có nhiều các ý kiến bất đồng về các hình suy biến. Ví dụ như {6/2} có thể được hiểu theo 2 cách:

  • Vào thế kỉ 20, người ta thường cho rằng dựng hình {6/2} bằng cách nối mỗi đỉnh của đa giác lồi đều {6} với các đỉnh cách nó 2 đỉnh, và tạo thành một đa giác kép tạo bởi 2 tam giác đều, hay gọi là hình sao 6 cánh đều.
  • Many modern geometers, such as Grünbaum (2003), regard this as incorrect. They take the /2 to indicate moving two places around the {6} at each step, obtaining a "double-wound" triangle that has two vertices superimposed at each corner point and two edges along each line segment. Not only does this fit in better with modern theories of abstract polytopes, but it also more closely copies the way in which Poinsot (1809) created his star polygons - by taking a single length of wire and bending it at successive points through the same angle until the figure closed.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Coxeter, H. S. M. (1948), Regular Polytopes, Methuen and Co. 
  • Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et. al., Springer (2003), pp. 461–488.
  • Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]