Nhóm con

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không. Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là nhóm con của G.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho một nhóm G với phép toán hai ngôi *, và tập con H của G. H được gọi là nhóm con của G nếu chính H là một nhóm với phép toán * của G.

Các điều kiện tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tập con H của nhóm G. Các điều kiện sau là tương đương:

  1. H là nhóm con của G;
  2. Với mọi a, b \in H ta có a*b \in Ha^{-1} \in H;
  3. Với mọi a, b \in H ta có a*b^{-1} \in H;

Các nhóm con đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho G là một nhóm đối với phép nhân * và phần tử đơn vị 1.
  1. Chính G là một nhóm con của G
  2. Tập con gồm một phần tử đơn vị {1} của G là một nhóm con của G.
  3. Nếu a \in G thì tập H các phần tử là luỹ thừa nguyên của G
H=\left \{a^n | n \in \mathbb Z \right \}
là một nhóm con của G.
  • Cho G là một nhóm đối với phép cộng + và phần tử trung hoà 0.
  1. Chính G là một nhóm con của G
  2. Tập con gồm một phần tử không {0} của G là một nhóm con của G.
  3. Nếu a \in G thì tập H các phần tử là bội nguyên của G
H=\left \{n \cdot a | n \in \mathbb Z \right \}
là một nhóm con của G.

Giao của các nhóm con[sửa | sửa mã nguồn]

Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của G là một nhóm con của G .......

Nhóm con sinh bởi một tập con[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho A là tập con của G. Nhóm con nhỏ nhất H của G chứa A được gọi là nhóm con sinh bởi A. Nếu H=G ta nói A là tập sinh của G.
  • Nếu nhóm G sinh bởi một tập con có một phần tử {a} thì G được gọi là nhóm cyclic, phần tử a được gọi là phần tử sinh của G

Các nhóm cyclic hữu hạn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã.

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Xét tập các số nguyên \mathbb Z như một nhóm với phép cộng.
  1. Nhóm con sinh bởi tập hợp gồm một số nguyên k là {x.k | x \in \mathbb Z }
  2. Nhóm con sinh bởi tập m số nguyên \left \{k_1,k_2,...,k_m \right \}

là tập \left \{k_1 \cdot x_1+ k_2 \cdot x_2+...+k_m \cdot x_m \right \}

  • Xét nhóm cộng theo modulo 6 các số tự nhiên nhỏ hơn 6.
{\mathbb Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}

Ta có các nhóm con sinh bởi các phần tử 2,3 là:

\left \langle \;2\; \right \rangle= \{0,\; 2 \;, 4 \}
\left \langle \;3\; \right \rangle= \{0,\; 3 \;\}
  • Xét tập các số tự nhiên nhỏ hơn 12 và nguyên tố với 12:
{\mathbb Z}_{12}^*={ 1, 5, 7, 11}
với phép nhân modulo 12. Ta có bảng nhân sau:
* 1 5 7 11
1 1 5 7 11
5 5 1 11 7
7 7 11 1 5
11 11 7 5 1
Ta có các nhóm con của nhóm nhân {\mathbb Z}_{12}^* sau:
  1. Nhóm con { 1} sinh bởi phần tử 1
  2. Nhóm con { 1, 5} sinh bởi phần tử 5
  3. Nhóm con { 1, 7} sinh bởi phần tử 7
  4. Nhóm con { 1, 11} sinh bởi phần tử 11
  5. Các nhóm con chứa nhiều hơn một phần tử khác 1 đều trùng với chính {\mathbb Z}_{12}^*

Cấp của một phần tử[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử G là một nhóm (nhân) có phần tử đơn vị là 1 và a thuộc G. Nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho ak = 1 thì ta gọi số k >0 nhỏ nhất sao cho ak = 1 là cấp của phần tử a. Nếu không tồn tại k như vậy ta nói a có cấp vô hạn. Nếu nhóm được ghi theo lối cộng, phần tử đơn vị được thay bằng phần tử không, phép luỹ thừa thay bằng bội, đẳng thức trên trở thành k.a = 0.

  • Ví dụ
    • Trong nhóm cộng các số nguyên \mathbb Z, tất cả các phần tử đều có cấp vô hạn.
    • Xét nhóm nhân các căn bậc n của 1 trong trường số phức.
Đã biết rằng, trong trường số phức, 1 có n căn bậc n xác định theo công thức:
{\omega}_k = \cos \frac {k.2\pi} {n}+ i \cdot \sin \frac {k.2\pi} {n}, với k=0,1,..., n-1.

Dễ dàng kiểm tra rằng tập n số phức \{ {\omega}_0,{\omega}_1,...,{\omega}_{n-1}\} lập thành một mhóm với phép nhân các số phức. Xét một số n cụ thể, chẳng hạn n=6, ta có 6 căn bậc 6:

{\omega}_0=1 \;; \; {\omega}_1 = \frac 1 2 +i \cdot \frac {\sqrt 3} 2 \;; {\omega}_2 = -\frac 1 2 +i \cdot \frac {\sqrt 3} 2 \;
{\omega}_3 =-1\;; {\omega}_4 = -\frac 1 2 -i \cdot \frac {\sqrt 3} 2; {\omega}_5 = \frac 1 2 -i \cdot \frac {\sqrt 3} 2

.

Dễ dàng kiểm tra rằng {\omega}_1,{\omega}_5 có cấp 6,{\omega}_2,{\omega}_4 có cấp 3,{\omega}_3 có cấp 2.

Nhóm con chuẩn tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Cho H là một nhóm con của G.

Kí hiệu xH là tập con của G gồm các phần tử dạng x.h trong đó x \in Gh \in H. xH được gọi là lớp trái của H.

Tương tự Kí hiệu Hx là tập con của G gồm các phần tử dạng h.x trong đó x \in Gh \in H. Hx được gọi là lớp phải của H.

Định lý

  1. Các lớp xH, x \in G tạo thành một phân hoạch của tập G;
  2. Các lớp Hx, x \in G tạo thành một phân hoạch của tập G;
  3. Hx=xH với mọi x\inG khi và chỉ khi x^{-1}.h.x \in G với mọi x\inG và mọi h \in H.

Định nghĩa

Nhóm con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu Hx=xH với mọi x\inG, hay tương đương x^{-1}.h.x \in H với mọi x\inG và mọi h \in H.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
  2. Xét nhóm các phép thế S3 của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S3 gồm 6 phép thế sau:
{\sigma}_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3 \end{pmatrix}=e; {\sigma}_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}; {\sigma}_3=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\3&1&2\end{pmatrix};
{\sigma}_4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}; {\sigma}_5=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}; {\sigma}_6=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}

Ta có bảng nhân của S_3

* \sigma_1  \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4  \sigma_5  \sigma_6
 \sigma_1  \sigma_1  \sigma_2  \sigma_3  \sigma_4  \sigma_5  \sigma_6
 \sigma_2  \sigma_2  \sigma_3  \sigma_1  \sigma_6  \sigma_4  \sigma_5
 \sigma_3  \sigma_3  \sigma_1  \sigma_2  \sigma_5  \sigma_6  \sigma_4
 \sigma_4  \sigma_4  \sigma_5  \sigma_6  \sigma_1  \sigma_2  \sigma_3
 \sigma_5  \sigma_5  \sigma_6  \sigma_4  \sigma_3  \sigma_1  \sigma_2
 \sigma_6  \sigma_6  \sigma_4  \sigma_5  \sigma_2  \sigma_3  \sigma_1

Có thể kiểm tra

    1. nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_2 gồm e,  \sigma_2,\sigma_3;
    2. nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_3 gồm e, \sigma_2, \sigma_3;
    3. nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_4 gồm e, \sigma_4;
    4. nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_5 gồm e, \sigma_5;
    5. nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_6 gồm e, \sigma_6

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]