Nhóm (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Các thao tác bước xoay khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.

Trong toán học, nhómtập hợp các phần tử cùng với phép toán hai ngôi kết hợp hai phần tử bất kỳ của tập hợp thành một phần tử thứ ba thỏa mãn bốn điều kiện gọi là tiên đề nhóm, lần lượt là tính đóng, kết hợp, phần tử đơn vịtính khả nghịch. Một trong những ví dụ quen thuộc nhất về nhóm đó là tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng; khi thực hiện cộng hai số nguyên bất kỳ luôn thu được một số nguyên khác. Hình thức trình bày trừu tượng dựa trên tiên đề nhóm, tách biệt nó khỏi bản chất cụ thể của bất kỳ nhóm đặc biệt nào và phép toán trên nhóm, cho phép nhóm bao trùm lên nhiều thực thể với nguồn gốc toán học rất khác nhau trong đại số trừu tượng và rộng hơn, và có thể giải quyết một cách linh hoạt, trong khi vẫn giữ lại khía cạnh cấu trúc căn bản của chúng. Sự có mặt khắp nơi của nhóm trong nhiều lĩnh vực bên trong và ngoài toán học khiến chúng trở thành nguyên lý tổ chức trung tâm của toán học đương đại.[1][2]

Nhóm chia sẻ mối quan hệ họ hàng cơ bản với khái niệm đối xứng. Ví dụ, nhóm đối xứng chứa đựng các đặc điểm đối xứng của một đối tượng hình học như: nhóm bao gồm tập hợp các phép biến đổi không làm thay đổi đối tượng và các phép toán kết hợp hai phép biến đổi này bằng cách thực hiện từng phép biến đổi một. Nhóm Lie là những nhóm đối xứng sử dụng trong Mô hình Chuẩn của vật lý hạt; nhóm các điểm được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng đối xứng trong hóa học phân tử; và nhóm Poincaré dùng để biểu diễn các tính chất đối xứng vật lý trong thuyết tương đối hẹp.

Khái niệm nhóm xuất phát từ nghiên cứu về phương trình đa thức, bắt đầu từ Évariste Galois trong thập niên 1830. Sau những đóng góp từ những lĩnh vực khác như lý thuyết số và hình học, khái niệm nhóm được tổng quát hóa và chính thức trở thành lĩnh vực nghiên cứu trong khoảng thập niên 1870. Lý thuyết nhóm hiện đaị—nhánh toán học sôi động—nghiên cứu các nhóm bằng chính công cụ của chúng.a[›] Để khám phá nhóm, các nhà toán học phải nêu ra nhiều khái niệm khác nhau để chia nhóm thành những phần nhỏ hơn, có thể hiểu được dễ hơn như các nhóm con, nhóm thươngnhóm đơn giản. Thêm vào những tính chất trừu tượng của chúng, các nhà lý thuyết nhóm cũng nghiên cứu cách biểu diễn cụ thể một nhóm bằng nhiều cách khác nhau (hay lý thuyết biểu diễn nhóm), cả từ quan điểm lý thuyết và quan điểm tính toán thực hành (lý thuyết nhóm tính toán). Lý thuyết phát triển cho nhóm hữu hạn kết tập với phân loại nhóm đơn giản hữu hạn được công bố vào năm 1983.aa[›] Từ giữa thập niên 1980, lý thuyết nhóm hình học, nghiên cứu các nhóm sinh hữu hạn như là những đối tượng hình học, đã trở thành lĩnh vực đặc biệt sôi nổi trong lý thuyết nhóm.

Bản mẫu:Group theory sidebar Bản mẫu:Algebraic structures

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong đại số trừu tượng, một nhóm (G,*) là một tập hợp G, cùng với một phép toán hai ngôi, ký hiệu " * ", từ G×G vào G thỏa mãn các tiên đề sau:

G1. Tính kết hợp: phép toán "*" có tính kết hợp, nghĩa là

(a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, bc thuộc G.

G2. Phần tử trung hòa:Trong G tồn tại một phần tử được gọi là phần tử trung hòa θ sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì

a*θ = θ*a = a.

G3. Phần tử đối lập: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại một phần tử x, gọi là phần tử đối lập của a, sao cho:

x*a = a*x = θ.

Lý thuyết toán học phát triển cho các nhóm gọi là lý thuyết nhóm. Lý thuyết này có nhiều ứng dụng vì nhiều thực thể toán học đã gặp trong khoa học thỏa mãn điều kiện trở thành nhóm. Nhóm đại số cũng giúp nghiên cứu về sự đối xứng, một tính chất thường gặp trong tự nhiên và vật lý học.

Trong định nghĩa của nhóm phép "*" không đòi hỏi có tính chất giao hoán (a*b=b*a) nếu G thỏa mãn thêm tính chất này thì G được gọi là nhóm giao hoán, hay nhóm Abel. Nếu G không có tính giao hoán thì G được gọi là phi giao hoán hay không Abel.

Những lưu ý về ký hiệu và thuật ngữ trong nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Ký hiệu "*" là ký hiệu tống quát cho các phép toán, hai ký hiệu thường gặp nhất là "+" (cộng) và "x" hoặc đơn giản là "." (nhân).

  • Khi sử dụng ký hiệu "+" ta nói rằng nhóm được viết theo lối cộng. Khi đó:
    • Kết quả phép cộng a+b được gọi là tổng của a với b;
    • Phần tử trung hòa được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0;
    • Phần tử đối lập của phần tử a được gọi là phần tủ đối của a, kí hiệu là –a.
    • Tổng của n phần tử bằng a (n là số tự nhiên) được gọi là bội n của a, ký hiệu là na. Đặc biệt 0a=0,1a=a.
  • Khi sử dụng ký hiệu "x" hoặc "." ta nói rằng nhóm được viết theo lối nhân. Khi đó:
    • Kết quả phép nhân a.b được gọi là tích của a với b;
    • Phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị, ký hiệu là e hoặc 1;
    • Phần tử đối lập của phần tử a được gọi là phần tủ nghịch đảo của a, kí hiệu là a-1.
    • Tích của n phần tử bằng a được gọi là lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là an. Đặc biệt a0=1,a1=a.

Tuy nhiên, trong đa số trường hợp người ta thường dùng cách viết theo lối nhân (cùng với các thuật ngữ tương ứng), cách viết theo lối cộng thường được dùng khi G là nhóm giao hoán.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Nhóm giao hoán (nhóm Abel)[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Tập các số nguyên, Z, với phép toán là phép cộng thông thường, phần tử đơn vị là 0.
  2. Tập các số hữu tỉ dương với phép toán là phép nhân thông thường, phần tử đơn vị là 1.
  3. Tập hợp các phần tử của một vành bất kì với phép toán cộng của vành, phần tử đơn vị là 0 (nhóm này được gọi là nhóm cộng của vành).
  4. Tập hợp các phần tử khác 0, khả nghịch của một vành K giao hoán với phép nhân của vành, phần tử đơn vị là 1 (gọi là nhóm nhân của vành, kí hiệu K*).

Nhóm phi giao hoán[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Tập các ma trận vuông khả nghịch cấp n với phép toán là phép nhân ma trận, phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n.
  2. Tập tất cả các song ánh (ánh xạ 1-1) từ một tập khác rỗng M vào chính nó (kí hiệu S(M)) với phép toán là phép nhân (phép hợp) ánh xạ, phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất.
  3. Nếu trong ví dụ trên tập M là tập các số tự nhiên từ 1 đến n, thì S(M) là nhóm các hoán vị (còn gọi là nhóm các phép thế), kí hiệu  S_n - một nhóm quan trọng trong lí thuyết nhóm.
  4. Tập các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trong vành Z_m(Tập các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m đối với phép nhân theo môđun m (m \in \mathbb N,m>1)

Nhóm con[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu (G,*) là một nhóm, và G là tập con của G, (G',*) cũng là nhóm (cùng phép toán "*") thì G được gọi là nhóm con của G.

Các khái niệm liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Các định lí hữu ích[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Herstein 1975, §2, p. 26
  2. ^ Hall 1967, §1.1, p. 1: "Ý tưởng về nhóm là một trong những thứ xâm chiếm toàn bộ toán học thuần túy và ứng dụng."