Nhóm hữu hạn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Nhóm hữu hạn là một nhóm mà số phần tử của nó là hữu hạn. Nhiều khía cạnh về lý thuyết nhóm hữu hạn đã được nghiên cứu kĩ lưỡng trong thế kỉ 20, đặc biệt lý thuyết địa phương, lý thuyết về các nhóm giải đượcnhóm lũy linh. Thật sự là khó có thể có một lý thuyết hoàn bị vì sự phức tạp trở nên rất lớn khi khảo sát các nhóm khổng lồ.

Số phần tử của của một nhóm hữu hạn còn gọi là cấp của nhóm đó.

Ít khó khăn hơn, nhưng không kém phần thú vị là các nhóm tuyến tính tổng quát nhỏ trên các trường hữu hạn. Nhà toán học J. L. Alperin có viết rằng:

"The typical example of a finite group is GL(n,q), the general linear group of n dimensions over the field with q elements. The student who is introduced to the subject with other examples is being completely misled." (Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121)
Tạm dịch: "Thí dụ điển hình của nhóm hữu hạn là GL(n,q), một nhóm tuyến tính tổng quát có n chiều trên trên một trường có q phần tử. Sinh viên nào được nhập môn với các thí dụ khác hơn thì (sẽ) bị hướng dẫn lầm lạc."

Bàn thảo về các nhóm có cấp nhỏ nhất, GL(2,3), xin xem Visualizing GL(2,p).

Nhóm hữu hạn có liên quan trực tiếp tới tính đối xứng, khi nó bị giới hạn bởi một số hữu hạn các phép biến đổi. Người ta tìm thấy rằng sự đối xứng liên tục, như mô hình của các nhóm Lie, dẫn đến các nhóm hữu hạn, nhóm Weyl. Bằng cách này, các nhóm hữu hạn và các tính chất của chúng có thể trả lời các câu hỏi, thí dụ như trong vật lý lý thuyết, thì ban đầu vai trò của chúng (lý thuyết nhóm hữu hạn) không được rõ ràng lắm.

Một kết quả quan trọng đầu tiên là: Mọi nhóm có cấp là số nguyên tố đều là nhóm cyclic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]