Phân dạng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Một phân dạng (còn được biết đến là fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy phân dạng có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra phân dạng bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy. Từ fractal được nói đến lần đầu vào năm 1975 bởi Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là "đứt gãy". Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là "đường cong quỷ".

Phân dạng ban đầu được nghiên cứu như một vật thể toán học. Hình học phân dạng là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của phân dạng; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ngành này có ứng dụng trong khoa học, công nghệ, và nghệ thuật tạo từ máy tính. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các phân dạng.

Mục lục 1 Định nghĩa 2 Lịch sử 3 Các vấn đề nảy sinh và ứng dụng fractal 4 Phân loại fractal 5 Fractal hình học 6 Fractal đại số 7 Fractal ngẫu nhiên 8 Chiều fractal 9 Ứng dụng fractal 10 Ví dụ 10.1 Phân dạng tạo từ hình toán học 10.2 Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng 11 Liên kết ngoài

[sửa] Định nghĩa

Việc định nghĩa các đặc tính của phân dạng, có vẻ dễ dàng với trực quan, lại cực kỳ khó với đòi hỏi chính xác và cô đọng của toán học.

Mandelbrot đã định nghĩa phân dạng là "một tập hợp mà trong đó chiều Hausdorff-Besicovitch lớn hơn chiều tô pô học". Chiều Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo kích thước của phân dạng, thường không phải là một số tự nhiên. Một hình vẽ phân dạng trên tờ giấy 2 chiều có thể bắt đầu có những tính chất của vật thể trong không gian 3 chiều, và có thể có chiều Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một phân dạng hoàn toàn tự đồng dạng, chiều Hausdorff sẽ đúng bằng chiều Minkowski-Bouligand.

Các vấn đề liên quan đến định nghĩa phân dạng gồm:

• Không có ý nghĩa chính xác của "gấp khúc".
• Không có định nghĩa duy nhất của "chiều".
• Có nhiều cách mà một vật thể có thể tự đồng dạng.
• Không phải tất cả mọi phân dạng đều tìm được bằng phép đệ quy.

[sửa] Lịch sử

Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu các hình tự đồng dạng tự thế kỷ 17, khi Gottfried Leibniz xem xét các đường gấp khúc và định nghĩa đường thằng là đường phân dạng chuẩn: "the straight line is a curve, any part of which is similar to the whole"

Năm 1872, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đưa ra mô hình về một hàm liên tục nhưng không đâu khả vi

Năm 1904, nhà toán học Thụy Điển Helge von Koch trong một bài "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" đã nghiên cứu các tính chất của phân dạng tạo thành bắt đầu từ các đa giác đơn lồi phẳng, mà cụ thể là tam giác, có hình dạng na ná rìa của các bông tuyết và được gọi là bông tuyết Koch (Koch snowflake)

[sửa] Các vấn đề nảy sinh và ứng dụng fractal

[sửa] Phân loại fractal

[sửa] Fractal hình học

[sửa] Fractal đại số

[sửa] Fractal ngẫu nhiên

[sửa] Chiều fractal

[sửa] Ứng dụng fractal

[sửa] Ví dụ

[sửa] Phân dạng tạo từ hình toán học

Một phân dạng Mandelbrot zn+1 = zn2 + c

Phân dạng trông giống bông hoa

Một phân dạng của tập hợp Julia

Một phân dạng Mandelbrot khác

[sửa] Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng

Kéo hai tấm nhựa trong suốt có dính keo ra khỏi nhau, ta có được một cấu trúc phân dạng.

Phóng điện cao thế trong một khối nhựa trong suốt, ta thu được hình Lichtenberg có cấu trúc phân dạng.

Các vết nứt có cấu trúc phân dạng trên bề mặt đĩa DVD, sau khi đưa đĩa này vào lò vi sóng

Xúp lơ xanh Romanesco có những cấu trúc phân dạng tự nhiên

[sửa] Liên kết ngoài

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và tài liệu về: Phân dạng

• Fractal Geometry
• IFS Illusions - Nhân tạo nghệ thuật

Bài này còn sơ khai trong lĩnh vực toán học. Chúng ta đang có những nỗ lực để hoàn thiện bài này. Nếu bạn biết về vấn đề này, bạn có thể giúp đỡ bằng cách viết bổ sung (trợ giúp).