Kronecker delta

Đừng nhầm lẫn với hàm delta Dirac, hay ký hiệu Kronecker.

Trong toán học, ký hiệu Kronecker delta là một hàm số của hai biến, thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau:

$$\delta _{ij}={\begin{cases}1&\quad i=j,\\0&\quad i\neq j.\end{cases}}$$

hoặc bằng dấu ngoặc Iverson:

$$\delta _{ij}=[i=j]\,$$

trong đó Kronecker delta δ_ij là một hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị i và j. Ví dụ, δ_1 2 = 0, còn δ_3 3 = 1. Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo Leopold Kronecker.

Trong đại số tuyến tính, ma trận đơn vị I kích thước n × n có các phần tử xác định bằng Kronecker delta:

$$I_{ij}=\delta _{ij}$$

trong đó i và j mang các giá trị 1, 2, ..., n. Ngoài ra, tích trong của các vectơ có thể được viết dưới dạng

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}\delta _{ij}a_{i}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$

Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.

Tính chất

Ta có những đẳng thức sau

$${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$$

Do đó, ma trận δ có thể được coi như một ma trận đơn vị.

Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân:

$$\delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}$$

Ký hiệu

Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson:

$$\delta _{ij}=[i=j].$$

Ngoài ra, ký hiệu một biến δ_i cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho j = 0:

$$\delta _{i}={\begin{cases}1,&\quad i=0,\\0,&\quad i\neq 0.\end{cases}}$$

Trong đại số tuyến tính, Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằngδⁱ
_j. Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.

Xem thêm

• Độ đo Dirac
• Hàm chỉ thị
• Ký hiệu Levi-Civita
• Cổng XNOR