Biến đổi tuyến tính

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một hàm giữa hai không gian vectơ mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính.

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các không gian vectơ.

Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên

Một cách chính thức, nếu V và W là các không gian vectơ trên cùng một trường, chúng ta nói rằng ánh xạ f : V → W là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ x và y trong V và bất kỳ vô hướng a trong K, chúng ta có

$f(x+y)=f(x)+f(y) \,$ (tính kết hợp)

$f(ax)=af(x) \,$               (tính thuần nhất).

Điều này có ý nghĩa tương đương với khảng định f   "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector x₁, ..., x_m và các vô hướng a₁, ..., a_m, chúng ta có

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).$

Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu V và W thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính C → C, nhưng nó không phải là C-tuyến tính.

Các ví dụ

• Nếu A là một m × n ma trận, thì A định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ Rⁿ đến R^m bằng việc chuyển một vectơ cột x ∈ Rⁿ tới một vectơ cột Ax ∈ R^m. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều xuất hiện theo cách này; xem thêm các mục sau.

Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng

Nếu f : V → W là tuyên tính, ta định nghĩa hạt nhân của f ký hiệu ker (f), ảnh của f và hạng của f nhw sau:

$\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}$

ker(f) là một không gian con của V và im(f) là không gian con của W. Công thức sau đây được xem định lý về số chiều:

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V ) \,$

Số dim(im(f)) cũng được gọi là hạng của f ký hiệu là rk(f),hoặc, ρ(f); còn số dim(ker(f)) được gọi là số vô hiệu (nullity) của f và ký hiệu là ν(f). Nếu V và W là hữu hạn chiều, và f được biểu diễn bởi ma trận A, thì hạng và số vô hiệu của f tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận A.

Xem thêm

• Đại số tuyến tính
• Ma trận
• Không gian vectơ