Định lý mở rộng Tietze

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho  f\,:F\longrightarrow R liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục  g\,:X\longrightarrow R sao cho  g/_{F}=f.

Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

  • Trường hợp f bị chặn

a) Trường hợp tổng quát có thể suy ra từ trường hợp khi mà   inf_{F}f=0  sup_{F}f=1 chúng ta sẽ thu hẹp sự chú ý trong trường hợp này.

b) Theo Định lý Urysohn có một hàm liên tục  g_{1}:\, X\longrightarrow[0,\frac{1}{3}] sao cho:

 g_{1}(x)=\begin{cases}
0,\, x\in f^{-1}[0,\frac{1}{3}]\\
\frac{1}{3}\,,x\in f^{-1}([\frac{2}{3},1])
\end{cases}

Lấy  f_{1}=f-g_{1}. Khi đó sup_{X}g_{1}=\frac{1}{3} , sup_{F}f_{1}=\frac{2}{3}  inf_{F}f_1=0

c) Chúng ta có hàm số  f_{n}\,:F\longrightarrow R,\,\, n\geq1 , chúng ta sẽ thu được một hàm số  g_{n+1}:\, X\longrightarrow[0,\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n}] sao cho:  g_{n+1}(x)=\begin{cases}
0,\, x\in f^{-1}([0,\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n}])\\
\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n}\,,x\in f^{-1}([(\frac{2}{3})^{n+1},(\frac{2}{3})^{n}])
\end{cases}

Lấy  f_{n+1}=f_{1}-g_{n+1} , Khi đó  sup_{X}g_{n+1}=\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n}  sup_{F}f_{n+1}=(\frac{2}{3})^{n+1} , và  inf_{F}f_{n+1}=0

d) Chuỗi   \sum_{n=1}^{\infty}g_{n} hội tụ đều về hàm liên tục g.

e) Vì  f_{n}=f-\sum_{i=1}^{\infty}g_{i} , chuỗi  \sum_{n=1}^{\infty}g_{n}/_{F} hội tụ đều về f.Do đó  g/_{F}=f .

f) Chú ý rằng việc xây dựng này thì  inf_X{g}=0  sup_X{g}=1

  • Trường hợp f không bị chặn.

a) Gỉa sử rằng f hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, lấy h là một phép đồng phôi từ  (-\infty,\infty) vào  (0,1) .Khi đó miền xác định của   f_{1}=h\circ g là một tập con của  (0,1), do đó nó có thể mở rộng như hàm liên tục  g_{1} phía trước sao cho   inf_{x\in X}g_{1}(x)=inf_{x\in F}f_{1}(x)=0  sup_{x\in X}g_{1}(x)=sup_{x\in F}f_{1}(x)=1

Nếu miền xác định của   g_{1} bao gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó  g=h^{-1}\circ g_{1} là hàm như ta mong đợi.

Nếu có trường hợp xảy ra như sau: miền xác định của  g_{1} bao gồm cả 0 và 1. Trong trường hợp này lấy  C=g_{1}^{-1}({0,1}) .Chú ý rằng C giao F bằng trống.Theo bổ đề Urysohn, có một hàm liên tục  k:\, X\longrightarrow[0,1] sao cho  k/_{C}=0 , k/_{F}=1 . Lấy   g_{2}=kg_{1}+(1-k)\frac{1}{2} . Khi đó  g_{1}/_{F}=g_{2}/_{F} và miền xác định của   g_{2} là tập con của  (0,1) , khi đó  g=h^{-1}\circ g_{2} là hàm như ta mong đợi.

b) Nếu f bị chặn dưới khi đó tương tự như trường hợp trước chúng ta có thể sử dụng phép đồng phôi  h:\,[a,\infty)\longrightarrow[0,1) , và chúng ta đặt   C=g_{1}^{-1}(\{1\}

Trường hợp f bị chặn trên là tương tự

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]