Giả thuyết Catalan

Giả thuyết Catalan (hoặc định lý Mihăilescu) là định lý trong lý thuyết số được đặt giả thuyết bởi nhà toán học Eugène Charles Catalan trong 1844 và được chứng minh trong 2002 bởi Preda Mihăilescu của đại học Paderborn. Hai số 2³ và 3² là hai lũy thừa hoàn hảo có giá trị (8 và 9 tương ứng) liên tiếp.Định lý phát biểu rằng đây là trường hợp duy nhất của hai số lũy thừa hoàn hảo liên tiếp. Có nghĩa là

Giả thuyết Catalan — Nghiệm tự nhiên duy nhất của

$x^{a}-y^{b}=1$

với a, b > 1, x, y > 0 là x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Lịch sử

Lịch sử của bài toán bắt nguồn ít nhất từ Gersonides ngừoi đã chứng minh trường hợp đặc biệt trong 1343 khi (x, y) bị giới hạn bằng (2, 3) hoặc (3, 2). Bước tiến đầu tiên sau khi Catalan đưa ra giả thuyết là vào năm 1850 khi Victor-Amédée Lebesgue xét trường hợp b = 2.

Trong 1976, Robert Tijdeman áp dụng phương pháp Baker trong lý thuyết siêu việt để đặt ra các giới hạn cho a,b và dùng các kết quả giới hạn có sẵn cho x,y khi biết a, b để tìm ra chặn trên của x,y,a,b. Michel Langevin đã tính ra $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ cho giới hạn trên, đưa giả thuyết Catalan về một lượng hữu hạn còn lại cần xét.

Giả thuyết Catalan đã được chứng minh bởi Preda Mihăilescu vào tháng 4 năm 2002. Bái chứng minh được xuất bản trong Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Bài chứng minh sử dụng chủ yếu các trường cyclotomic và các modun Galois. Một bài luận cho bài chứng minh được viết bởi Yuri Bilu trong Séminaire Bourbaki. Vào 2005, Mihăilescu xuất bản một bài chứng minh khác đơn giản hơn

Tổng quát hóa

Hiện đang có giả thuyết rằng với mọi số nguyên dương n, chỉ có hữu hạn số cặp lũy thừa hoàn hảo có khoảng cách n. Danh sách bên dưới xét n ≤ 64 ,hiển thị các nghiệm lũy thừa hoàn hảo nhỏ hơn 10¹⁸, xem  A076427 . Xem thêm  A103953 cho nghiệm nhỏ nhất (> 0).

n	số nghiệm	số k sao cho k và k + n đều là lũy thừa hoàn hảo		n	số nghiệm	số k sao cho k và k + n đều là lũy thừa hoàn hảo
1	1	8		33	2	16, 256
2	1	25		34	0	none
3	2	1, 125		35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121		36	2	64, 1728
5	2	4, 27		37	3	27, 324, 14348907
6	0	none		38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32761		39	4	25, 361, 961, 10609
8	3	1, 8, 97336		40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64000		41	3	8, 128, 400
10	1	2187		42	0	none
11	4	16, 25, 3125, 3364		43	1	441
12	2	4, 2197		44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900		45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	none		46	1	243
15	3	1, 49, 1295029		47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	3	9, 16, 128		48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904		49	3	32, 576, 274576
18	3	9, 225, 343		50	0	none
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356		51	2	49, 625
20	2	16, 196		52	1	144
21	2	4, 100		53	2	676, 24336
22	2	27, 2187		54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025		55	3	9, 729, 175561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312		56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144		57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42849, 6436343		58	0	none
27	3	9, 169, 216		59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044		60	4	4, 196, 2515396, 2535525316
29	1	196		61	2	64, 900
30	1	6859		62	0	none
31	2	1, 225		63	4	1, 81, 961, 183250369
32	4	4, 32, 49, 7744		64	4	36, 64, 225, 512

Giả thuyết Pillai

Vấn đề mở trong toán học: Có đúng rằng mỗi số nguyên dương chỉ xuất hiện hữu hạn lần là khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Giả thuyết Pillai xét đến khoảng cách tổng quát giữa hai số lũy thừa hoàn hảo (dãy số A001597 trong bảng OEIS): là bài toán mở được đưa ra bởi S. S. Pillai, người đặt ra giả thuyết rằng khoảng cách giữa các lũy thừa hoàn hảo tiến đến vô cùng. Ta có thể hiểu tương đương là mỗi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo nhưng chỉ có hữu hạn số lần biểu diễn như vậy.Thậm chí, tổng quát hơn trong 1931 Pillai đã đặt ra giả thuyết khi cố định A, B, C thì phương trình $Ax^{n}-By^{m}=C$ có hữu hạn số nghiệm (x, y, m, n) với (m, n) ≠ (2, 2). Pillai chứng minh rằng khoảng cách $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ với bất kỳ λ nhỏ hơn 1, cách đều với m và n.

Giả thuyết tổng quát có thể được chứng minh từ giả thuyết abc.

Paul Erdős đặt ra giả thuyết rằng dãy tăng dần $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ của lũy thừa hoàn hảo thỏa mãn $a_{n+1}-a_{n}>n^{c}$ với một số giá trị c và giá trị  n đủ lớn.

Xem thêm

• Giả thuyết Beal
• Equation x^y = y^x
• Giả thuyết Fermat–Catalan
• Đường cong Mordell
• Phương trình Ramanujan–Nagell
• Định lý Størmer
• Định lý Tijdeman

Tham khảo

• Bilu, Yuri (2004), “Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”, Astérisque, 294: vii, 1–26, MR 2111637
• Catalan, Eugene (1844), “Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur”, J. Reine Angew. Math. (bằng tiếng Pháp), 27: 192, doi:10.1515/crll.1844.27.192, MR 1578392
• Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [A proof of the Catalan conjecture]. Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes (bằng tiếng Pháp). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. tr. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. MR 0222434.
• Metsänkylä, Tauno (2004), “Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved” (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 41 (1): 43–57, doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5, MR 2015449
• Mihăilescu, Preda (2004), “Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”, J. Reine Angew. Math., 2004 (572): 167–195, doi:10.1515/crll.2004.048, MR 2076124
• Mihăilescu, Preda (2005), “Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture” (PDF), European Congress of Mathematics, Zurich: Eur. Math. Soc.: 325–340, MR 2185753, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 26 tháng 6 năm 2022, truy cập ngày 20 tháng 6 năm 2022
• Ribenboim, Paulo (1994), Catalan's Conjecture, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, MR 1259738 Predates Mihăilescu's proof.
• Tijdeman, Robert (1976), “On the equation of Catalan” (PDF), Acta Arith., 29 (2): 197–209, doi:10.4064/aa-29-2-197-209, MR 0404137

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Catalan's conjecture" từ MathWorld.
• Ivars Peterson's MathTrek
• On difference of perfect powers
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture