1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Một phần của 15.000 số đầu tiên từ 0 + 1 - 2 + 3 - 4 +....

Trong toán học, 1 - 2 + 3 - 4 + · · · là tổng của dãy các số vô hạn có điều kiện là các số nguyên dương liên tiếp, cho dấu hiệu luân phiên. Sử dụng ký pháp sigma, cho tổng tất cả các số này với các điều kiện của loạt số này được thể hiện dưới dạng

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Các dãy số vô hạn phân kỳ, có nghĩa là trình tự của từng các tổng 1 − 2 + 3 − 4 + ... không có xu hướng đối với bất kỳ hữu hạn giới hạn. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã viết những gì mà ông thừa nhận rằng là một phương trình nghịch lý:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Tham khảo

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. (1 tháng 5 năm 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). “Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series”. The Euler Archive. Truy cập ngày 22 tháng 3 năm 2007.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết) Originally published as Euler, Leonhard (1768). “Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques”. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 17: 83–106.
• Ferraro, Giovanni (1 tháng 6 năm 1999). “The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 9175377 .
• Kline, Morris (1 tháng 11 năm 1983). “Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371.
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1.
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (ấn bản 3). Hindustan Pub. Corp. LCCN 6817528 .
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• Tucciarone, John (1 tháng 1 năm 1973). “The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925”. Archive for History of Exact Sciences. 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0-387-00836-5.
• Weidlich, John E. (1 tháng 6 năm 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.