Đường đi Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Hỏi: Các hình này có vẽ được một nét không?
Trả lời: Được! Nhưng điểm cuối không trùng điểm xuất phát
Trả lời: Được! Và điểm cuối trùng điểm xuất phát

Trong lý thuyết đồ thị, một đường đi trong đồ thị G=(X,E) được gọi là đường đi Euler nếu nó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần. Đường đi Euler có đỉnh cuối cùng trùng với đỉnh xuất phát gọi là chu trình Euler. Khái niệm chu trình Euler xuất phát từ bài toán bảy cây cầu do Euler giải quyết vào khoảng năm 1737. Đường đi Euler có thể tìm thấy trong các bài toán vui vẽ một nét (vẽ một hình nào đó mà không nhấc bút khỏi mặt giấy, không tô lại cạnh nào hai lần).

Carl Hierholzer là người đầu tiên mô tả hoàn chỉnh đồ thị Euler vào năm 1873, bằng cách chứng minh rằng đồ thi Euler là đồ thị liên thông không có đỉnh bậc lẻ.

Các Định nghĩa về chu trình và đường đi Euler[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Đường đi Euler (tiếng Anh: Eulerian path, Eulerian trail hoặc Euler walk) trong đồ thị vô hướng là đường đi của đồ thị đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần (nếu là đồ thị có hướng thì đường đi phải tôn trọng hướng của cạnh).
  2. Chu trình Euler (tiếng Anh: Eulerian cycle, Eulerian circuit hoặc Euler tour) trong đồ thị vô hướng) là một chu trình đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần và có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối.
  3. Dây chuyền Euler là dây chuyền đi qua tất cả các cạnh trong đồ thị và mỗi cạnh được đi qua đúng một lần.
  4. Mạch EulerĐường đi Euler có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối.
  5. Đồ thị Euler
    1. Đồ thị Euler vô Hướng là đồ thị vô hướng có chứa ít nhất một chu trình Euler.
    2. Đồ thị Euler có Hướng là đồ thị có hướng có chứa ít nhất một mạch Euler.
  • Ghi chú: Một đồ thị là Euler thì sẽ là nửa Euler; điều ngược lại không đúng.

Định lý Euler về chu trình và đường đi Euler[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị Bảy cây cầu Königsberg có 4 đỉnh bậc lẻ nên không là đồ thị Euler
  1. Đồ thị vô hướng liên thông G=(X, E) có chu trình Euler khi và chỉ khi G không có đỉnh bậc lẻ.
  2. Đồ thị vô hướng liên thông G=(X, E) có đường đi Euler khi và chỉ khi G có không quá hai đỉnh bậc lẻ. Nếu G có hai đỉnh bậc lẻ thì đường đi Euler có hai đầu đường đi nằm ở hai đỉnh bậc lẻ.
  3. Đồ thị có hướng liên thông G=(X, E) có chu trình Euler, khi đó: số đỉnh bậc trong của G sẽ bằng số đỉnh bậc ngoài của G (d+(x) = d-(x),∀xϵ X).

Phát biểu lại định lý 1: Một đa đồ thị không có điểm cô lập có chu trình Euler nếu và chỉ nếu đồ thị là liên thông và mỗi đỉnh của nó đều có bậc chẵn

Các tính chất khác[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Một đồ thị vô hướng là đồ thị Euler nếu nó liên thông và có thể phân tích thành các chu trình có các cạnh rời nhau.
  2. Nếu đồ thị vô hướng G là Euler thì đồ thị đường L(G) cũng là Euler.
  3. Đồ thị có hướng là Euler nếu nó liên thông và mọi đỉnh của nó có bậc vào bằng bậc ra.
  4. Đồ thị có hướng là Euler nếu nó liên thông và có thể phân tích thành các chu trình có hướng với các cung rời nhau.

Giải thuật[sửa | sửa mã nguồn]

Bỏ cây cầu nối B với D, xây cây cầu nối A với C, đồ thị không có đỉnh bậc lẻ nên là đồ thị Euler

Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng, liên thông, tất cả các đỉnh đều có bâc chẵn hơn nữa G là hữu hạn. Khi đó, tất cả các đỉnh đều có bậc lớn hơn 1.

Giải thuật 2: Không đi qua cầu[sửa | sửa mã nguồn]

  • Một cạnh của đồ thị G được gọi là cầu, nếu khi xóa cạnh đó khỏi đồ thị thì làm tăng số thành phần liên thông của G.

Giải thuật Gọi chu trình cần tìm là C

  1. Khởi tạo: Chọn một đỉnh bất kỳ cho vào C.
  2. Nếu G không còn cạnh nào thì dừng.
  3. Bổ sung: Chọn một cạnh nối đỉnh vừa chọn với một đỉnh kề với nó theo nguyên tắc: chỉ chọn cạnh cầu nếu không còn cạnh nào khác để chọn. Bổ sung cạnh vừa chọn và đỉnh cuối của nó vào C, xóa cạnh ấy khỏi G. Quay về bước 2.

Ví Dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví Dụ 1: Cho Các đồ thị vô hướng G1,G2,G3 tìm chu trình Euler

Hình 4: Đồ thị Euler - Đồ thị nửa Euler (vô hướng)

Bài làm:
Đồ thị G1 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a.
Đồ thị G3 không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler a, c, d, e, b, d, a, b, vì thế G3 là đồ thị nửa Euler.
Đồ thị G2 không có chu trình cũng như đường đi Euler.
Ví Dụ 2:Cho Các đồ thị có hướng H1,H2,H3 tìm chu trình Euler

Hình 5: Đồ thị Euler - Đồ thị nửa Euler (có hướng)

Bài làm:
Đồ thị H2 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, b, c, d, e, a.
Đồ thị H3 không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler c, a, b, c, d, b vì thế H3 là đồ thị nửa Euler.
Đồ thị H1 không có chu trình cũng như đường đi Euler.

Code Mẫu[sửa | sửa mã nguồn]

// Bai 6: Thuật toán xác định đồ thị Euler
Ngôn ngữ lập trình C++
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define VAIN 99
#define MAX 10
int G[MAX][MAX]; // Ma Tran ke Dinh-Dinh (co Khuyen)
int S[MAX][MAX]; // Ma Tran danh dau Cung da su dung
int Pred[MAX]; // Mang Nua-Bac-Trong cua 1 Dinh
int Succ[MAX]; // Mang Nua-Bac-Ngoai cua 1 Dinh
int path[MAX]; // Mang duong di cua chu trinh
// khai bao ham
int N,k,l=0;
//bien toan cuc void ReadData();
void PrintData();
int Check(int k);
void Euler();

void main() {

   ReadData();
   PrintData();
   Euler();

}

void ReadData() {

   int i,j;
   FILE* f=fopen("c:\\borlandc\\thuvien\\ltdt2\\EU_in.txt","rt");
   if (f==NULL)    { printf("\nError Loading File!\n");    return; }
   fscanf(f,"%d",&N);// gia tri dau tien cho biet so dinh cua Do Thi G
   for(i=1;i<=N;i++)
   {
       Succ[i]=Pred[i]=0;
       for(j=1;j<=N;j++)
       {
           S[i][j]=FALSE;   // danh dau Cung khong con su dung nua
           fscanf(f,"%d",&G[i][j]);//lan luot doc cac phan tu MT ke
       }
   }
   fclose(f);
   for(i=1;i<=N;i++)
       for(j=1;j<=N;j++)
         if(G[i][j]>0)
         { S[i][j]=TRUE;Succ[i]++;Pred[j]++;}  // Tinh Bac moi Dinh

}

void PrintData() {

   clrscr();
   int i,j;
   printf("\nMa Tran Ke G[%d*%d]:\n",N,N);
   for(i=1;i<=N;i++)
   {
       for(j=1;j<=N;j++)
           printf("%4d",G[i][j]);
       printf("\n");
   }

}

void Euler() {

   FILE *g=fopen("c:\\borlandc\\thuvien\\ltdt2\\EU_out.txt","wt");
   int i;
   for(i=1;i<=N;i++)
       if((Pred[i]+Succ[i])%2) // neu co dinh bac Le
       {
           printf("\nTon tai Dinh %d Bac Le!",i);
           printf("\nKhong co chu trinh Euler\n");
           fclose(g);
           return;
       }
   printf("\nDo thi co chu trinh Euler\n");
   int k,ok;  // kiem tra va in ra man hinh chu trinh Euler 1 net ve
   printf("\nKet qua kiem tra xuat phat tu dinh 1:\n");
   for(k=2;k<=N;k++)       // kiem tra xuat phat tu Dinh 1
   {
       if((G[1][k]!=0))    // co Cung noi Dinh 1 voi Dinh k
       {
         S[1][k]=FALSE;    // danh dau Cung(1,k) da duoc su dung
         ok=Check(k);  // xet tiep Dinh k
         if(ok==FALSE)
          S[1][k]=TRUE;//duong nay khong nen qua Dinh k=>tra danh dau
           else // ok==TRUE
           {
             //printf(" %d",k);//lan luot hien thi nguoc cac Dinh da qua
             printf("Tong so dinh cua chu trinh: %d\n",l+2);
             fprintf(g,"%d\n",l+2);
             printf("Cac dinh cua duong di chu trinh:\n");
             printf("1 %d ",k);
             fprintf(g,"1 %d ",k);
             for(int r=l-1;r>=0;r--)
               {
                 printf("%d ",path[r]);
                 fprintf(g,"%d ",path[r]);
               }
             fclose(g);
             getch();
             return;
           }
       }
   }   // end for

}

int Check(int k) // tiep tuc kiem tra, xuat phat tu Dinh k {

   int i,j,ok;
   for(i=1;i<=N;i++)
   {
     if((S[k][i]==TRUE)&&(G[k][i]!=0))//co Cung tu k den cac Dinh con lai ?
     {
        S[k][i]=FALSE;// neu co, danh dau khong su dung lai Cung(k,i) nua
        ok=Check(i);       // xet tiep Dinh i den cac Dinh khac
        if(ok==FALSE)
        S[k][i]=TRUE;//lan nay khong nen qua Dinh i => bo danh dau
        else
          {
                  //printf(" %d",i);
                  path[l]=i;
                  l++;
                  return TRUE;
       }
     }
   }
   for(i=1;i<=N;i++)   // khi khong con Cung di tu Dinh k nua
     for(j=1;j<=N;j++) // quet duyet do thi G xem da het Cung chua?
       if(S[i][j]==TRUE)   // neu con sot Cung tren Ma Tran danh dau S =>
         return FALSE;//huong di theo Dinh k nay la sai=>chon Dinh k khac
     return TRUE;  // thanh cong, tra ve cac dinh nguoc tren duong di Euler

}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]