Định lý cấu trúc cho các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính

Trong toán học, trong lĩnh vực đại số trừu tượng, định lý cấu trúc cho các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính là một tổng quát hóa của định lý cơ bản của các nhóm abel hữu hạn sinh. Đại khái là các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính có thể được phân tách duy nhất theo cách tương tự như sự phân tách các số nguyên thành các thừa số nguyên tố. Kết quả cung cấp một khuôn khổ đơn giản để hiểu rõ hơn sự tồn tại của các dạng chính tắc khác nhau của các ma trận vuông.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cấu trúc cho các mô-đun hữu hạn sinh trên một vành chính thường xuất hiện dưới hai dạng sau.

Phân tách thừa số bất biến[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi mô-đun $M$ hữu hạn sinh trên một vành chính $R$ , tồn tại một dãy giảm duy nhất các i-đê-an thực sự $(d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})$ sao cho $M$ đẳng cấu với tổng trực tiếp của các mô-đun cyclic:

M\cong \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}).

Các phần tử sinh $d_{i}$ là duy nhất xê xích một phép nhân đơn vị.

Phân tách thừa số nguyên sơ[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi mô-đun M hữu hạn sinh trên một vành chính R đẳng cấu với một mô-đun có dạng

\bigoplus _{i}R/(q_{i})

với

(q_{i})\neq R

và

(q_{i})

là các i-đê-an nguyên sơ. Các phần tử sinh

q_{i}

là duy nhất (xê xích một phép nhân đơn vị).

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236
Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, New York: Springer, pp. 218–226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain, ISBN 978-0-387-90518-1
Jacobson, Nathan (1985), Basic algebra. I (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+499, ISBN 0-7167-1480-9, MR 0780184
Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5