Đồ thị hai phía đầy đủ

Trong ngành lý thuyết đồ thị, một đồ thị hai phía đầy đủ (tiếng Anh: complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ nhất nối với mọi đỉnh thuộc tập thứ hai.

Cũng như đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phía đầy đủ có các tính chất rất thú vị.

Định nghĩa

Một đồ thị hai phía đầy đủ $G:=(V_1 + V_2, E)$ là một đồ thị hai phía sao cho với mọi cặp hai đỉnh $v_1 \in V_1$ và $v_2 \in V_2$, $v_1 v_2$ là một cạnh của đồ thị $G$. Một đồ thị hai phía hoàn hảo với các phân hoạch có kích thước $\|V_1\|=m$ và $\|V_2\|=n$ được ký hiệu $K_{m,n}$.

Ví dụ

K_3,1

K_3,2

K_3,3

Tính chất

• Một đồ thị phẳng không thể có đồ thị con đồng phôi với đồ thị $K_{3,3}$; một đồ thị phẳng ngoài (outerplanar graph) không thể chứa $K_{2,3}$ dưới dạng một minor. (Đây không phải các điều kiện đủ cho tính phẳng và phẳng ngoài, nhưng là điều kiện cần.)
• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có số phủ đỉnh (vertex covering number) bằng $\min \lbrace m,n \rbrace$ và số phủ cạnh bằng $\max\lbrace m,n\rbrace$
• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có một tập độc lập cực đại (maximum independent set) có kích thước $\max\lbrace m,n\rbrace$
• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có cặp ghép hoàn hảo (perfect matching) kích thước $\min\lbrace m,n\rbrace$
• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{n,n}$ có một cách tô màu n cạnh đúng đắn
• Hai kết quả cuối cùng là hệ quả của Định lý Hôn nhân (Marriage Theorem) khi áp dụng cho đồ thị hai phía chính quy bậc k.
• Sắc số của đồ thị $K_{m,n}$ là 2.
• Số màu cần thiết để tô màu các cạnh của $K_{m,n}$ là max{m.n} để không có 2 cạnh nào cùng màu mà lại có chung đỉnh.
• Chiều rộng của $K_{1,n}$ là $n-\mathcal{b} n/2 \mathcal{c}$, với $\mathcal{b} n/2 \mathcal{c}$ là số tự nhiên nhỏ nhất không vượt quá n/2.

Xem thêm

• Đồ thị hai phía