Đồ thị hai phía đầy đủ

Trong lý thuyết đồ thị, một đồ thị hai phía đầy đủ (tiếng Anh : Complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ nhất nối với mọi đỉnh thuộc tập thứ hai và ngược lại.

Định nghĩa

Cho $G =(X, E)$ là một đồ thị vô hướng lưỡng phân với hai tập $X_1$ và $X_2$ phân hoạch $X$ ($X_1$ $\ne$ Ø $\ne$ $X_2$ và $X_1$ $\bigcup$ $X_2$ = Ø). Khi đó $G$ được gọi là lưỡng phân đầy đủ nếu:

     * Với mọi cặp đỉnh(i,j) mà i $\in$ $X_1$ và j $\in$ $X_2$ thì có đúng một cạnh của G nối i và j.

• Mối tương quan giữa đồ thị đầy đủ và đồ thị hai phía đầy đủ:

     * Đồ thị đầy đủ $K_{n}$ có: n đỉnh, $\cfrac{n.(n-1)}{2}$ cạnh
     * Đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có: m + n đỉnh, m.n cạnh

Ví dụ

• Với mọi k, $K_{1,k}$ ta có đồ thị hình sao.

• Hay với đồ thị $K_{1,k}$ ta có đồ thị hình vuốt, hoặc một cây

• $K_{m,n}$ với m khác n.

• $K_{m,n}$ với m = n.

Tính chất

• Định lý Kuratowski liên quan giữa tính phẳng của đồ thị và $K_{3,3}$: Điều kiện cần và đủ một đồ thị liên thông G có tính phẳng là G không chứa bất kỳ đồ thị con nào đồng phôi với $K_5$ hay $K_{3,3}$. Đồ thị $K_{3,3}$ là đồ thị không phẳng có ít cạnh nhất.

• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có số phủ đỉnh (Vertex covering number) bằng $\min \lbrace m,n \rbrace$ và số phủ cạnh (Edge covering number) bằng $\max\lbrace m,n\rbrace$

• Đồ thị hai phía đầy đủ $K_{4,4}$ là một Cayley Graph.

• Một đồ thị đủ $K_{n}$ có thể được tách thành 4 đồ thị con, mỗi đồ thị con là một đồ thị hai phía đầy đủ, $H_{1}$, $H_{2}$, $H_{3}$, ... $H_{m}$, sao cho $m \ge \; n - 1$

• Đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ là k-choosable khi và chỉ khi $n < \; m^m$

• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có cặp ghép hoàn hảo (Perfect matching) kích thước $\min\lbrace m,n\rbrace$

• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{n,n}$ hay $K_{n,n+1}$ là một đồ thị Turán.

• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có mⁿ⁻¹ n^m−1 cây bao trùm

• Ma trận Laplace của đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có các vectơ n+m, n, m, 0; với các vectơ tương thích 1, m-1, n-1, 1.

• Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{n,n}$ có một cách tô màu cạnh (Edge coloring) đúng đắn, n_Edge = n_color.

• Sắc số của đồ thị $K_{m,n}$ là 2 .

• Số màu cần thiết để tô màu các cạnh của $K_{m,n}$ là max{m.n} để không có 2 cạnh nào cùng màu mà lại có chung đỉnh.

• Đường kính của đồ thị hai phía đầy đủ: $K_{1,1}$ là 1, còn tất cả các $K_{m,n}$ khác đều có đường kính là 2.

Xem thêm

• Đồ thị hai phía
• Đồ thị chu trình
• Đồ thị đầy đủ
• Ma trận kề