Không gian phủ

Một ánh xạ phủ.

Định nghĩa

Đặt $X$ là một không gian tô-pô . Một không gian phủ của $X$ là một không gian tô-pô $C$ cùng với một toàn ánh liên tục

$p\colon C\to X\,$

sao cho với mọi $x\in X$, có một lân cận mở $U$ của $x$ mà $p^{-1}(U)$ ( nghịch ảnh của $U$ bởi $p$) là một hợp rời các tập mở trong $C$, mà mỗi trong số đó đồng phôi với $U$ qua $p$ .

Tương đương, một không gian phủ của $X$ có thể được định nghĩa là một phân thớ $p\colon C\to X$ với các thớ rời rạc.

Ánh xạ $p$ được gọi là ánh xạ phủ, không gian $X$ thường được gọi là không gian cơ sở của phủ và không gian $C$ được gọi là không gian toàn thể của phủ.

Ví dụ

• $\mathbb {R}$ là không gian phủ phổ dụng của $S^{1}.$
• Mặt cầu $S^{n}$ phủ không gian xạ ảnh $P_{n}(\mathbb {R} )$. Với $n>1$, đây là một phủ phổ dụng .

Phủ phổ dụng

Một không gian phủ là một không gian phủ phổ dụng nếu nó liên thông đơn (i.e. nếu nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường). Tên phổ dụng xuất phát từ thuộc tính quan trọng sau: nếu ánh xạ q: D → X là phủ phổ dụng của không gian X và ánh xạ p : C → X là bất kỳ phủ nào của không gian X với C liên thông, thì tồn tại một phủ f : D → C sao cho p ∘ f = q . Tức là

Phủ phổ dụng phủ mọi phủ liên thông.

Quan hệ với groupoid

Hàm tử groupoid cơ bản cho ta một tương đương phạm trù

$\pi _{1}:\operatorname {TopCov} (X)\to \operatorname {GpdCov} (\pi _{1}X)$

giữa phạm trù các phủ của một không gian tô-pô X (giả sử X thỏa mãn một thuộc tính nào đó) và phạm trù các phủ groupoid của π₁(X).

Tham khảo

• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Charleston, S. Carolina: Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết) See chapter 10.
• Chernavskii, A.V. (2001), “Covering”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980). Riemann Surfaces (ấn bản 2). New York: Springer. ISBN 0-387-90465-4.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết) See chapter 1 for a simple review.
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết)
• Higgins, Philip J. (1971). Notes on categories and groupoids. Mathematical Studies. 32. London-New York-Melbourne: Van Nostrand Reinhold. MR 0327946.
• Jost, Jürgen (2002). Compact Riemann Surfaces. New York: Springer. ISBN 3-540-43299-X.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết) See section 1.3
• Massey, William (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. New York: Springer. ISBN 0-387-97430-X.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết) See chapter 5.
• Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản 2.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0131816292.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết)
• Brazas, Jeremy (2012). “Semicoverings: a generalization of covering space theory”. Homology, Homotopy and Applications. 14 (1): 33–63. arXiv:1108.3021. doi:10.4310/HHA.2012.v14.n1.a3. MR 2954666.
• Ellis, Graham. “Homological Algebra Programming”.
• Ellis, Graham (2004). “Computing group resolutions”. Journal of Symbolic Computation. 38: 1077–1118.
• Spanier, Edwin (tháng 12 năm 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.