Hàm Von Mangoldt

Đừng nhầm lẫn với hằng de Bruijn–Newman.

Đối với other uses of "Λ", xem Lambda.

Trong toán học, hàm von Mangoldt là hàm số học được theo tên nhà toán học Đức Hans von Mangoldt. Nó là một trong những ví dụ quan trọng về hàm số học không nhân tính hay cộng tính.

Định nghĩa

Hàm von Mangoldt, ký hiệu bởi Λ(n), được định nghĩa bởi

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Giá trị của Λ(n) cho chín số nguyên dương đầu tiên là

$0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,$

liên quan tới (dãy số A014963 trong bảng OEIS).

Hàm tổng von Mangoldt, ψ(x), còn được gọi là hàm Chebyshev thứ hai, được định nghĩa bởi

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).$

Các tính chất

Hàm von Mangoldt thỏa mãn định thức sau:

$\log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).$

Tổng được lấy trên tất cả các số nguyên d chia cho n . Điều này được chứng minh bởi định lý cơ bản của số học, vì giá trị hàm của các phần tử không phải là lũy thừa của số nguyên tố bằng 0 . Ví dụ, xét trường hợp n = 12 = 2² × 3 , khi đó:

${\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}$

Bằng phép nghịch đảo Möbius, ta được

$\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .$

Với mọi $x\geq 1$, ta có

$\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).$

Ngoài ra, tồn tại hai hằng số $c_{1}$ và $c_{2}$ sao cho

$\psi (x)\leq c_{1}x,$

với mọi $x\geq 1$, và

$\psi (x)\geq c_{2}x,$

cho mọi x đủ lớn.