Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Định lý Pompeiu”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n Xóa tham số thừa, ký tự thừa trong tham số |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
| Dòng 1: | Dòng 1: | ||
[[Tập tin:Pompeiu theorem1.svg|thumb|400px|phải| |
[[Tập tin:Pompeiu theorem1.svg|thumb|400px|phải|Hình vẽ miêu tả định lý Pompeiu.]] |
||
Trong [[hình học phẳng]], '''định lý Pompeiu''' (tiếng Anh: ''Pompeiu's theorem'') là một hệ quả được tìm ra bởi nhà toán học [[người România]] [[Dimitrie Pompeiu]]. Nội dung định lý này như sau: |
|||
'''Định lý Pompiu''' là một định lý trong lĩnh vực [[hình học phẳng]], được phát hiện bởi nhà toán học Romanian [[Dimitrie Pompeiu|Dimitrie Pompiu]].<ref name="Recent Advances in Geometric Inequalities">{{chú thích sách|author1=Dragoslav S. Mitrinovic,J. Pecaric,V. Volenec|title=Recent Advances in Geometric Inequalities|date=1989|publisher=Kluwer Academic Publishers|isbn=90-277-2565-9|page=385|url=http://books.google.com.vn/books?id=hXYH2OfNRdwC&pg=PA385&dq=Pompeiu%27s+theorem&hl=vi&sa=X&ei=eZlgVNkJpdeaBYePgvgH&ved=0CBwQ6AEwAA#v=onepage&q=Pompeiu's%20theorem&f=false|accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014 |accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014}}</ref><ref name="A Property of Equilateral Triangles">{{chú thích sách|author1=Titu Andreescu,Razvan Gelca|title=Mathematical Olympiad Challenges|date=12 tháng 4 năm 2008|publisher=Birkhauser Boston|isbn=978-0-8716-4528-1|page=4|edition=Second |url=http://books.google.com.vn/books?id=lhAtVOeYSmQC&pg=PA4&dq=Pompeiu%27s+theorem&hl=vi&sa=X&ei=eZlgVNkJpdeaBYePgvgH&ved=0CDMQ6AEwAw#v=onepage&q=Pompeiu's%20theorem&f=false|accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014 |accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014}}</ref><ref>{{chú thích sách|author1=Titu Andreescu,Dorin Andrica|title=Complex Numbers from A to... Z|date=2005|publisher=Birkhauser|isbn=978-0-8176-8414-3|pages=143, 199|edition=Second |url=http://books.google.com.vn/books?id=b6q8BAAAQBAJ&pg=PA390&dq=Pompeiu+theorem&hl=vi&sa=X&ei=WqBgVKncKuPamAXZ6IHwDw&ved=0CDUQ6AEwAw#v=onepage&q=Pompeiu%20theorem&f=false|accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014 |accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014}}</ref><ref name="Modern Real and Complex Analysis">{{chú thích sách|author1=Bernard R. Gelbaum|title=Modern Real and Complex Analysis|date=1995|publisher=John Wiley & Son. Inc|location=New York|isbn=0-471-10715-8|page=263|url=http://books.google.com.vn/books?id=Ol6PxU2SrA8C&pg=PA481&dq=Pompeiu+theorem&hl=vi&sa=X&ei=HKFgVKexPOPQmAWb4YCYBA&ved=0CGAQ6AEwCA#v=onepage&q=Pompeiu%20theorem&f=false|accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014 |accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014}}</ref><ref name="Prove Pompeiu's theorem">{{chú thích sách|author1=Claudi Alsina,Roger B. Nelsen|title=Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics|date=10 tháng 7 năm 2010|publisher=MAA - Mathemetical Association of America|isbn=978-0-88385-348-1|page=105|url=http://books.google.com.vn/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA105&dq=Pompeiu+theorem&hl=vi&sa=X&ei=2aFgVO2PCOW4mwWQr4DICA&ved=0CGgQ6AEwCQ#v=onepage&q=Pompeiu%20theorem&f=false|accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014 |accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014}}</ref><ref name="Pompeiu's theorem">{{chú thích sách|author1=Arthur Engel|title=Problem-Solving Strategies|date=1998|publisher=Springer Science + Business Media, Inc|location=US|isbn=0-387-98219-1|page=332|url=http://books.google.com.vn/books?id=sqqrD2W_ClMC&pg=PA402&dq=Pompeiu+theorem&hl=vi&sa=X&ei=66JgVKyTHqXKmwXM24DYCA&ved=0CFUQ6AEwCDgK#v=onepage&q=Pompeiu%20theorem&f=false|accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014 |accessdate = ngày 10 tháng 11 năm 2014}}</ref> |
|||
''Trong mặt phẳng, cho [[tam giác đều]] ABC. Khi này, với điểm P bất kì trong mặt phẳng, độ dài ba đoạn thẳng PA, PB, PC có thể được dựng thành một tam giác mới.''<ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/314175948|title=Mathematical Olympiad challenges|last=Andreescu|first=Titu|date=2009|publisher=Birkhäuser|others=Rǎzvan Gelca|isbn=978-0-8176-4611-0|edition=2nd ed|location=Boston|oclc=314175948}}</ref> |
|||
Định lý khẳng định rằng: ''Cho [[tam giác đều]] ABC trong mặt phẳng, và một điểm P trên mặt phẳng của tam giác ABC đó, khi đó tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là <math> PA, PB,</math> và <math>PC</math>''. |
|||
Định lý này có thể được chứng minh bằng cách xét một phép quay 60 độ với tâm quay là điểm ''B''. Khi đó, giả sử điểm A sau khi được quay trở thành điểm C do tam giác ABC đều, điểm P trở thành điểm P', khi đó ''PB = P'B'' và góc PBP' bằng 60 độ, từ đó suy ra tam giác PBP' là một tam giác đều và có ''PP' = PB.'' Tương tự, ta có PA = P'C, để từ đó tam giác PCP' có ba cạnh lần lượt bằng độ dài ba đoạn thẳng ''PA, PB'' và ''PC'', phép dựng hình hoàn tất và định lý được chứng minh.<ref name=":0">https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514.pdf</ref> |
|||
[[Tập_tin:Satz_von_Pompeiu.svg|nhỏ|Hình vẽ miêu tả chứng minh định lý Pompeiu]] |
|||
Tuy nhiên, định lý này có một trường hợp đặc biệt, rằng nếu điểm ''P'' nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều ABC, khi đó tam giác được tạo thành từ độ dài ba cạnh PA, PB và PC bị suy biến trở thành ba điểm thẳng hàng, và hệ thức ''PA + PC = PB'' khi đó thỏa mãn, trường hợp đặc biệt này thường được biết đến là [[định lý Van Schooten]].<ref name=":0" /> |
|||
[[Tập_tin:Pompeiu_theorem2.svg|nhỏ|Hình vẽ miêu tả trường hợp đặc biệt của định lý Pompeiu. ]] |
|||
==Mở rộng== |
|||
*Định lý Pompeiu cũng được chứng minh là đúng nếu điểm <math>P</math> nằm trong không gian Euclid, đưa ra bởi (Veldkamp 1956-1957). |
|||
*Định lý Pompeiu cũng được xem là một trường hợp đặc biệt của [[định lý Ptôlêmê]] |
|||
*Định lý Pompeiu là một trường hợp đặc biệt của '''định lý Tweedie'''. ''Nội dung định lý Tweedie như sau: Cho tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng tỉ lệ các cạnh <math>BC:CA:AB=B'C':C'A':A'B'=a:b:c</math> khi đó tích số <math>a.AA', b.BB'</math> và <math>c.CC'</math> là các cạnh của một tam'' |
|||
* ''giác.''<ref>Bottema, O. Verscheidenheden. Groningen, Netherlands: Wolters-Noordhoff/NVvW, pp. 134-137, 1977.</ref><ref>Tweedie, C. "Inequality Theorem Regarding the Lines Joining Corresponding Vertices of Two Equilateral, or Directly Similar, Triangles." Edinburgh Math. Soc. Proc. 22, 22-26, 1904</ref> |
|||
==Chú thích== |
==Chú thích== |
||
| Dòng 18: | Dòng 20: | ||
[[Thể loại:Hình học tam giác]] |
[[Thể loại:Hình học tam giác]] |
||
[[Thể loại:Hình học phẳng Euclid]] |
[[Thể loại:Hình học phẳng Euclid]] |
||
[[Thể loại:Định lý hình học |
[[Thể loại:Định lý hình học]] |
||
[[Thể loại:Hình học sơ cấp]] |
[[Thể loại:Hình học sơ cấp]] |
||
[[Thể loại:Định lý trong hình học phẳng]] |
[[Thể loại:Định lý trong hình học phẳng]] |
||
Phiên bản lúc 07:25, ngày 20 tháng 1 năm 2023
Trong hình học phẳng, định lý Pompeiu (tiếng Anh: Pompeiu's theorem) là một hệ quả được tìm ra bởi nhà toán học người România Dimitrie Pompeiu. Nội dung định lý này như sau:
Trong mặt phẳng, cho tam giác đều ABC. Khi này, với điểm P bất kì trong mặt phẳng, độ dài ba đoạn thẳng PA, PB, PC có thể được dựng thành một tam giác mới.[1]
Định lý này có thể được chứng minh bằng cách xét một phép quay 60 độ với tâm quay là điểm B. Khi đó, giả sử điểm A sau khi được quay trở thành điểm C do tam giác ABC đều, điểm P trở thành điểm P', khi đó PB = P'B và góc PBP' bằng 60 độ, từ đó suy ra tam giác PBP' là một tam giác đều và có PP' = PB. Tương tự, ta có PA = P'C, để từ đó tam giác PCP' có ba cạnh lần lượt bằng độ dài ba đoạn thẳng PA, PB và PC, phép dựng hình hoàn tất và định lý được chứng minh.[2]
Tuy nhiên, định lý này có một trường hợp đặc biệt, rằng nếu điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều ABC, khi đó tam giác được tạo thành từ độ dài ba cạnh PA, PB và PC bị suy biến trở thành ba điểm thẳng hàng, và hệ thức PA + PC = PB khi đó thỏa mãn, trường hợp đặc biệt này thường được biết đến là định lý Van Schooten.[2]
Chú thích
- ^ Andreescu, Titu (2009). Mathematical Olympiad challenges. Rǎzvan Gelca (ấn bản 2). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4611-0. OCLC 314175948.
|ấn bản=có văn bản dư (trợ giúp) - ^ a b https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514.pdf
Liên kết ngoài
 |
Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. |