Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Bất đẳng thức Jensen”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n Di chuyển từ Category:Giải tích đến Category:Giải tích toán học dùng Cat-a-lot |
nKhông có tóm lược sửa đổi |
||
| Dòng 1: | Dòng 1: | ||
Trong [[toán học]], '''bất đẳng thức Jensen''' (''tiếng Anh: Jensen's inequality''), được đặt theo tên nhà toán học người Đan Mạch [[Johan Jensen]], biểu hiện mối quan hệ giữa tổng các giá trị của một [[hàm lồi]]. Bất đẳng thức này được chứng minh bởi Jensen vào năm 1906,<ref>{{cite journal |last=Jensen |first=J. L. W. V. |author-link=Johan Jensen (mathematician) |date=1906 |title=Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes |journal=[[Acta Mathematica]] |volume=30 |issue=1 |pages=175–193 |doi=10.1007/BF02418571 |url=https://zenodo.org/record/2371297 |doi-access=free }}</ref> dựa trên một chứng minh từ trước đó cho hàm khả vi cấp hai của [[Otto Hölder]] vào năm 1889.<ref>{{cite journal |
|||
Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức do nhà toán học Johan Jensen phát minh. Bất đẳng thức [[Jensen]] là trường hợp đặc biệt của [[bất đẳng thức Karamata]]. |
|||
| last1 = Guessab | first1 = A. |
|||
| last2 = Schmeisser | first2 = G. |
|||
| doi = 10.1007/s00013-013-0522-3 |
|||
| issue = 6 |
|||
| journal = Archiv der Mathematik |
|||
| mr = 3069109 |
|||
| pages = 561–570 |
|||
| title = Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality |
|||
| volume = 100 |
|||
| year = 2013| s2cid = 56372266 |
|||
}}</ref> [[Bất đẳng thức]] này xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau dựa trên sự cần thiết, một vài trong số chúng sẽ được trình bày dưới đây. Trong ngữ nghĩa đơn giản nhất, bất đẳng thức Jensen khẳng định rằng giá trị hàm lồi của một [[tổ hợp lồi]] luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổ hợp lồi của các giá trị tương ứng, và khi hàm số được xét là [[hàm lõm]], bất đẳng thức sẽ đổi chiều.<ref>{{cite book |last1=Dekking |first1=F.M. |last2=Kraaikamp |first2=C. |last3=Lopuhaa |first3=H.P. |last4=Meester |first4=L.E. |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How |series=Springer Texts in Statistics |date=2005 |publisher=Springer |location=London |doi=10.1007/1-84628-168-7 |isbn=978-1-85233-896-1 |url=https://link.springer.com/book/10.1007%2F1-84628-168-7}}</ref> |
|||
Bất đẳng thức Jensen khi đó cũng khẳng định đối với một đoạn [[đồ thị của hàm số|đồ thị]] của một hàm lồi, dây cung nối hai điểm đầu và cuối sẽ luôn nằm phía trên đoạn đồ thị đó, đây là trường hợp hai biến số của bất đẳng thức Jensen: Dây cung biểu thị cho tổ hợp lồi của giá trị hàm lồi (với ''t'' ∈ [0,1]), |
|||
# Nếu <math>f</math> là một [[hàm lồi]] trên <math>\mathbb{I}(a,b)</math> thì với mọi <math>x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{I}(a,b)</math> ta luôn có <math>f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \geq nf(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})</math>.<ref name=":0">Trang 44, Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006.</ref> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <math>x_1=x_2=\dots=x_n</math>. |
|||
# Nếu <math>f</math> là một [[hàm lõm]] trên <math>\mathbb{I}(a,b)</math> thì với mọi <math>x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{I}(a,b)</math> ta luôn có<math>f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \leq nf(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})</math>.<ref>Trang 45, Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006.</ref> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <math>x_1=x_2=\dots=x_n</math>. |
|||
'''Lưu ý:''' Nếu <math>f</math> là hàm liên tục trên <math>\mathbb{I}(a,b)</math> và có đạo hàm cấp hai trên <math>\mathbb{I}</math> thì <math>f</math> lồi khi ta có <math>f'' (x)\ge 0, \forall x \in\mathbb{I}(a,b)</math> và <math>f</math> lõm khi ta có <math>f'' (x)\le 0, \forall x \in\mathbb{I}(a,b)</math>.<ref name=":0" /> |
|||
:<math>t f(x_1) + (1-t) f(x_2),</math> |
|||
còn phần đồ thị hàm số biểu thị cho giá trị hàm số của tổ hợp lồi, |
|||
:<math>f(t x_1 + (1-t) x_2).</math> |
|||
Khi đó, ta có bất đẳng thức Jensen: |
|||
:<math>f(t x_1 + (1-t) x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2).</math> |
|||
Trong [[lý thuyết xác suất]], bất đẳng thức Jensen được phát biểu dưới dạng: Nếu '''X''' là một [[biến ngẫu nhiên]] và {{mvar|φ}} là hàm lồi, khi đó |
|||
:<math qid=Q107203920>\varphi(\operatorname{E}[X]) \leq \operatorname{E} \left[\varphi(X)\right].</math> |
|||
Sự chênh lệch giữa hai đại lượng của bất đẳng thức <math>\operatorname{E} \left[\varphi(X)\right] - \varphi\left(\operatorname{E}[X]\right)</math> được gọi là [[chênh lệch Jensen]].<ref name="Gao et al.">{{cite journal | last1 = Gao | first1 = Xiang | last2 = Sitharam | first2 = Meera | last3 = Roitberg | first3 = Adrian | year = 2019 | title = Bounds on the Jensen Gap, and Implications for Mean-Concentrated Distributions | journal=The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications | arxiv = 1712.05267 | url = https://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v16n2/v16i2p14.pdf | volume = 16 | issue = 2 }}</ref> |
|||
==Xem thêm== |
==Xem thêm== |
||
Bản mới nhất lúc 04:02, ngày 24 tháng 4 năm 2024
Trong toán học, bất đẳng thức Jensen (tiếng Anh: Jensen's inequality), được đặt theo tên nhà toán học người Đan Mạch Johan Jensen, biểu hiện mối quan hệ giữa tổng các giá trị của một hàm lồi. Bất đẳng thức này được chứng minh bởi Jensen vào năm 1906,[1] dựa trên một chứng minh từ trước đó cho hàm khả vi cấp hai của Otto Hölder vào năm 1889.[2] Bất đẳng thức này xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau dựa trên sự cần thiết, một vài trong số chúng sẽ được trình bày dưới đây. Trong ngữ nghĩa đơn giản nhất, bất đẳng thức Jensen khẳng định rằng giá trị hàm lồi của một tổ hợp lồi luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổ hợp lồi của các giá trị tương ứng, và khi hàm số được xét là hàm lõm, bất đẳng thức sẽ đổi chiều.[3]
Bất đẳng thức Jensen khi đó cũng khẳng định đối với một đoạn đồ thị của một hàm lồi, dây cung nối hai điểm đầu và cuối sẽ luôn nằm phía trên đoạn đồ thị đó, đây là trường hợp hai biến số của bất đẳng thức Jensen: Dây cung biểu thị cho tổ hợp lồi của giá trị hàm lồi (với t ∈ [0,1]),
còn phần đồ thị hàm số biểu thị cho giá trị hàm số của tổ hợp lồi,
Khi đó, ta có bất đẳng thức Jensen:
Trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Jensen được phát biểu dưới dạng: Nếu X là một biến ngẫu nhiên và φ là hàm lồi, khi đó
![{\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7526369e9c0a915459648a6817fc1b78faf9408)
Sự chênh lệch giữa hai đại lượng của bất đẳng thức được gọi là chênh lệch Jensen.[4]
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3d0eb81dbbf440cd2080fad70d027557cd59a7)
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Jensen, J. L. W. V. (1906). “Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes”. Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571.
- ^ Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013). “Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality”. Archiv der Mathematik. 100 (6): 561–570. doi:10.1007/s00013-013-0522-3. MR 3069109. S2CID 56372266.
- ^ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Springer Texts in Statistics. London: Springer. doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1.
- ^ Gao, Xiang; Sitharam, Meera; Roitberg, Adrian (2019). “Bounds on the Jensen Gap, and Implications for Mean-Concentrated Distributions” (PDF). The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 16 (2). arXiv:1712.05267.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8.
- Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN 978-88-207-2675-1.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
- Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
- Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006