Đường thẳng Simson

Đường thẳng Simson LN (đỏ) của tam giác ABC.

Trong Hình học, định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:

Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm P trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là Đường thẳng Simson' của điểm P đối với tam giác ABC. Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson. Tuy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.

Mệnh đề đảo của định lý này cũng đúng: Nếu hình chiếu của một điểm P trên các cạnh của một tam giác thẳng hàng thì điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.

Tính chất

Đường thẳng Simson (màu đỏ) luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner (màu xanh).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Xét tính chất các đường thẳng Simson của các điểm trên (O).

• Đường thẳng Simson của đỉnh A của tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson của điểm A’ đối xứng với đỉnh A qua tâm O là cạnh BC của tam giác.

• Nếu $P$ và $P'$ là các điểm thuộc (O), thì các góc giữa hai đường thẳng Simson của $P$ và $P'$ bằng nửa số đo cung $PP'$. Trong trường hợp đặc biệt, nếu P và P’ đối xứng nhau qua tâm O, thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm nằm trên đường tròn chín điểm.

• Nếu gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, thì đường thẳng Simson của $P$ đi qua trung điểm của đoạn $PH$ (trung điểm này nằm trên đường tròn chín điểm).

• Nếu hai tam giác cùng nột tiếp (O), thì góc giữa hai đường thẳng Simson lines của một điểm $P$ trên (O) đối với hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của $P$ trên (O).

• Đường thẳng Simson luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner.

Xem thêm

• Tam giác bàn đạp
• Robert Simson

Liên kết ngoài

• Một mở rộng của định lý Simson
• Simson Line
• F. M. Jackson and Eric W. Weisstein, Simson Line tại MathWorld.
• A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches
• Đườn thẳng Ximxơn trên TĐBKVN