Định lý Stewart

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Minh họa định lý Stewart.

Trong hình học Euclid, định lý Stewart là đẳng thức miêu tả mối quan hệ độ dài giữa các cạnh trong tam giác với đoạn thẳng nối một đỉnh với một điểm nằm trên cạnh đối diện của tam giác đó. Định lý mang tên nhà toán học người Scotland Matthew Stewart, ông đã lần đầu tiên chứng minh định lý này vào năm 1746.[1]

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Gọi a, b, và cđộ dài các cạnh của 1 tam giác. Gọi d là độ dài của đoạn thẳng nối từ 1 đỉnh của tam giác với điểm nằm trên cạnh (ở đây là cạnh có độ dài là a) đối diện với đỉnh đó. Đoạn thẳng này chia cạnh a thành 2 đoạn có độ dài mn, định lý Stewart nói rằng:

b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,

Định lý Apollonius là trường hợp đặc biệt khi d là độ dài của đường trung tuyến tam giác.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Một cách chứng minh định lý dựa vào định lý cos:[2]

Gọi θ là góc giữa 2 cạnh md và θ′ là góc giữa nd. Ta có θ′ là góc bù của θ và cos θ′ = −cos θ. Áp dụng định lý cos cho các góc θ và θ′ ta có


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ 
b^2  &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

Nhân biểu thức thứ nhất với n, biểu thức thứ hai với m, rồi cộng lại ta có


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(d^2 + mn) \\
\end{align}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  2. ^ Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.