Định lý Pytago

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Có hàng trăm cách chứng minh định lý Pytago. Cách chứng minh được thể hiện trong hình này là của Leonardo da Vinci

Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác vuông.

Định lý này được đặt tên theo nhà vật lí họcnhà toán học Hy Lạp.Pytago sống vào thế kỷ 6 TCN, mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà toán học La Mã (trong quyển Sulbasutra của BaudhayanaKatyayana),Trung QuốcBabylon từ nhiều thế kỷ trước.

Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển Chu bễ toán kinh (周髀算经) khoảng năm 500 đến 200 TCNCác nguyên tố của Euclid khoảng 300 năm TCN.

Theoreme Pythagore.gif

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Cách phát biểu của Euclid:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.

Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề góc vuông đó còn gọi là cạnh góc vuông thuộc tam giác đó; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông. Trong hình vẽ dưới, ab là các cạnh kề(cạnh góc vuông), c là cạnh huyền:

Pythagorean.svg

Pythagoras đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng thông qua:

Diện tích hình vuông tím(hinh c) bằng tổng diện tích hình vuông đỏ (b) và xanh lam (a).

Tương tự, quyển tsubasa chép:

Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.

Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pytago dưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông đó:

Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng ab và cạnh huyền dài c, thì a2 + b2 = c2

Định lý đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý đảo Pythagoras phát biểu là:

Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn a2 + b2 = c2, tồn tại một tam giác có các cạnha, bc, và góc giữa ab là một góc vuông.

Định lý đảo này cũng xuất hiện trong quyển Các nguyên tố và được phát biểu bởi Euclid là:

Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.

Định lý tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý Pythagoras dưới dạng:

Một tam giác có ba cạnh a, bc, thì nó là tam giác vuông với góc vuông giữa ab khi và chỉ khi a2 + b2 = c2

Dùng khái niệm véctơ, có thể phát biểu định lý này là:

Cho hai véctơ \vec{u}\vec{v}, \Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert^2 = \Vert\vec{u}\Vert^2 + \Vert\vec{v}\Vert^2 khi và chỉ khi \vec u\vec v vuông góc với nhau.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác của các véctơ, định lý Pythagoras trở thành trường hợp đẳng thức của bất đẳng thức tam giác:

||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||.

tương đương

||\vec{u} + \vec{v}||^2 \le ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||

Các cách chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm Danh sách các chứng minh định lý Pythagoras

Có hàng nghìn cách chứng minh cho định lý Pythagoras. Dưới đây là một vài cách nổi tiếng.

Chứng minh của Euclid[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng hình mở rộng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hình tam giác vuông ABC.Gọi 3 cạnh của tam giác ABC là a,b và c. Nếu c là cạnh huyền của tam giác vuông ABC thì: a*a+b*b=c*c

Cắt và ghép[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều cách cắt, ghép hình thể hiện định lý Pytago:

Chứng minh bằng đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Diagram of the two algebraic proofs

Định lý có thể chứng minh bằng phương pháp đại số khi sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, bc, các tam giác này được sắp xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh huyền c.[1] Các tam giác bằng nhau có diện tích \tfrac12ab, khi đó hình vuông nhỏ bên trong có cạnh là ba và diện tích là (ba)2. Diện tích của hình vuông lớn là

(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = a^2+b^2. \,

Vì hình vuông lớn có cạnh là c và có diện tích c2, nên

c^2 = a^2 + b^2. \,

Một cách chứng minh tương tự là sắp xếp 4 hình tam giác vuông trên xung quanh một hình vuông có cạnh là 'c (hình dưới).[2] Kết quả tạo ra một hình vuông lớn hơn có cạnh là a + b và diện tích (a + b)2. Tổng diện tích 4 tam giác và hình vuông có cạnh c bằng với diện tích của hình vuông lớn hơn,

(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab,\,

ta có

c^2 = (b+a)^2 - 2ab = a^2 + b^2.\,
Biểu đồ chứng minh của Garfield

Một phương pháp chứng minh nữa do cựu tổng thống Mỹ James A. Garfield đưa ra.[3][4] Thay vì sử xếp thành hình vuông, ông sử dụng hình thang, hình thang này có thể xây dựng từ hình vuông theo cách chứng minh thứ 2 ở trên bằng cách cắt thành 2 hình thang dọc theo đường chéo của hình vuông bên trong. Diện tích của hình thang bằng 1/2 diện tích của hình vuông lớn:

\frac{1}{2}(b+a)^2.

Hìng vuông bên trong tương tự cũng giảm đi 1/2, và chỉ có 2 tam giác khi đó các bước chứng minh có thể tính tương tự như trên trừ hệ số \frac{1}{2}, hệ số này đã bị loại ra bằng cách nhân 2 để thu được kết quả.

Chứng minh bằng vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Cách chứng minh này bằng cách thay đổi cạnh huyền và sử dụng vi tích phân.[5][6][7]

Tam giác ABC là một tam giá vuông với BC là cạnh huyền. Chiều dài cạnh huyền là y, cạnh ACx và cạnh ABa.

Hình vẽ chứng minh bằng vi phân

Nếu x gia tăng một lượng dx bằng cách kéo dài đoạn AC về phía D, thì y cũng tăng một lượng là dy. Hai cạnh này cũng thuộc tam giác CDE, cũng là một tam giác tương tự ABC. Do đó các tỉ số cạnh của chúng phải bằng nhau:

 \frac{dy}{dx} = \frac xy.

Công thức trên có thể được viết lại như sau:

y \cdot dy - x \cdot dx = 0.\,

Đây là hàm vi phân với đáp án giải ra là

y^2 - x^2 = C,\,

Và hằng số có C có thể tìm được bằng cách cho x = 0 thì y = a, ta được phương trình

y^2 = x^2 + a^2\,

This is more of an intuitive proof than a formal one: it can be made more rigorous if proper limits are used in place of dx and dy.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Alexander Bogomolny. “Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3”. Cut the Knot. Truy cập ngày 4 tháng 11 năm 2010. 
  2. ^ Alexander Bogomolny. “Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4”. Cut the Knot. Truy cập ngày 4 tháng 11 năm 2010. 
  3. ^ Published in a weekly mathematics column: James A Garfield (1876). The New England Journal of Education 3: 161.  as noted in William Dunham (1997). The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities. Wiley. tr. 96. ISBN 0471176613.  and in A calendar of mathematical dates: April 1, 1876 by V. Frederick Rickey
  4. ^ Prof. David Lantz' animation from his web site of animated proofs
  5. ^ Mike Staring (1996). “The Pythagorean proposition: A proof by means of calculus”. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 69 (1): 45–46. doi:10.2307/2691395. JSTOR 2691395. 
  6. ^ Bogomolny, Alexander. “Pythagorean Theorem”. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Alexander Bogomolny. Truy cập ngày 9 tháng 5 năm 2010. 
  7. ^ Bruce C. Berndt (1988). “Ramanujan—100 years old (fashioned) or 100 years new (fangled)?”. The Mathematical Intelligencer 10 (3): 24. doi:10.1007/BF03026638. 

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng tiếng Anh)