Định lý tang

Hình 1 - Tam giác với ba cạnh a, b, c và ba góc đối diện α, β, γ

Trong lượng giác, định lý tang^[1] biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tang của hai góc đối diện với hai cạnh đó.

Với các kí hiệu trong hình bên, định lý tang được biểu diễn:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.$

Chứng minh [sửa]

Chứng minh định lý tang dựa vào định lý sin:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.$

Đặt

$d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},$

ta có

$a = d \sin\alpha \text{ and }b = d \sin\beta. \,$

Do đó

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.$

Dùng công thức lượng giác

$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;$

ta có

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}. \qquad\blacksquare$

Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau

$\tan\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}$

(xem công thức tang góc chia đôi).

Ứng dụng [sửa]

Từ công thức

$\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)] = \frac{a-b}{a+b} \tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]= \frac{a-b}{a+b} \cot[\frac{\gamma}{2}]$

ta tính được $\alpha-\beta$ nếu biết hai cạnh a, b của một tam giác và góc xen giữa $\gamma$ hai cạnh đó. Biết $\alpha+\beta=180^\circ-\gamma$ ta tính được $\alpha$ và $\beta$ . Cạnh thứ ba $c$ có thể tính bằng Định lý sin.