Bài toán Brocard

Vấn đề mở trong toán học:

Phương trình

n!+1=m^{2}

có nghiệm nguyên nào khác không ngoài

n=4,5,7

?

(các vấn đề mở khác trong toán học)

Bài toán Brocard là bài toán mở trong toán học yêu cầu tìm các giá trị nguyên của $n$ và $m$ sao cho

n!+1=m^{2},

với

n!

là giai thừa. Nó được đưa bởi Henri Brocard trong hai bài báo vào 1876 và 1885,^[1]^[2] và độc lập trong 1913 bởi Srinivasa Ramanujan.^[3]

Số Brown[sửa | sửa mã nguồn]

Các cặp $(n,m)$ giải bài toán Brocard được đặt tên cặp số Brown bởi Clifford A. Pickover trong quyển sách năm 1995 của ông: Chìa khóa tới vô cực, sau khi biết được bài toán từ Kevin S. Brown.^[4] Hiện vào tháng 5 năm 2021, chỉ có 3 cặp số Brown được biết: (4,5), (5,11), và (7,71) dựa trên các đẳng thức sau:

4! + 1 = 5² = 25,

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5041

Paul Erdős phỏng đoán rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại. Tìm kiếm bằng máy tính lên tới 10¹⁵ cũng không thấy nghiệm nào khác tồn tại.^[5]^[6]^[7]

Quan hệ với giả thuyết abc[sửa | sửa mã nguồn]

Từ giả thuyết abc sẽ ra được chỉ có hữu hạn số Brown.^[8] Tổng quát hơn, từ giả thuyết ta cũng sẽ chứng minh được

$n!+A=k^{2}$

có hữu hạn số nghiệm với bất kỳ số nguyên $A$ ,^[9] và

$n!=P(x)$

có hữu hạn số nghiệm nguyên với bất kì đa thức $P(x)$ với bậc không nhỏ hơn 2 và hệ số nguyên.^[10]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math., 2: 287
^ Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math., 4: 391
^ Ramanujan, Srinivasa (2000), “Question 469”, trong Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (biên tập), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, tr. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843
^ Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, tr. 170
^ Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ ” (PDF), Ramanujan Journal, 4 (1): 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, MR 1754629, S2CID 119711158
^ Matson, Robert (2017), “Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues” (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 10 năm 2018, truy cập ngày 7 tháng 5 năm 2017
^ Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository
^ Overholt, Marius (1993), “The Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ ”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060
^ Dąbrowski, Andrzej (1996), “On the Diophantine equation $x! + A = y 2$ ”, Nieuw Archief voor Wiskunde, 14 (3): 321–324, MR 1430045
^ Luca, Florian (2002), “The Diophantine equation $P (x) = n!$ and a result of M. Overholt” (PDF), Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Guy, R. K. (2004), “D25: Equations involving factorial $n$ ”, Unsolved Problems in Number Theory (ấn bản 3), New York: Springer-Verlag, tr. 301–302

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Bản mẫu:Mathworld2
Copeland, Ed, “Brown Numbers”, Numberphile, Brady Haran, Bản gốc lưu trữ ngày 9 tháng 11 năm 2014, truy cập ngày 6 tháng 4 năm 2013

[broc1-1] Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math., 2: 287

[broc2-2] Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math., 4: 391

[ramanujan-3] Ramanujan, Srinivasa (2000), “Question 469”, trong Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (biên tập), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, tr. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843

[pickover-4] Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, tr. 170

[bergal-5] Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ ” (PDF), Ramanujan Journal, 4 (1): 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, MR 1754629, S2CID 119711158

[matson-6] Matson, Robert (2017), “Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues” (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 10 năm 2018, truy cập ngày 7 tháng 5 năm 2017

[epsgli-7] Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository

[overholt-8] Overholt, Marius (1993), “The Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ ”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060

[dabrowski-9] Dąbrowski, Andrzej (1996), “On the Diophantine equation $x! + A = y 2$ ”, Nieuw Archief voor Wiskunde, 14 (3): 321–324, MR 1430045

[luca-10] Luca, Florian (2002), “The Diophantine equation $P (x) = n!$ and a result of M. Overholt” (PDF), Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]