Nhóm đồng luân của các hình cầu

Quấn một hình cầu hai chiều quanh một hình cầu khác.

Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các nhóm đồng luân của hình cầu là các bất biến mô tả, một cách đại số, những cách mà các hình cầu $n$ chiều và $k$ chiều có thể quấn quanh nhau. Khái niệm này, vốn ban đầu được xác định cho các mặt cầu 1 chiều (vòng tròn) và 2 chiều (hình cầu), được khái quát cho các mặt cầu $n$ chiều.

Định nghĩa

Nhóm đồng luân bậc $j$ của hình cầu $n$ chiều $\mathbb {S} ^{n}$, là tập hợp, ký hiệu $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=[\mathbb {S} ^{j}\to \mathbb {S} ^{n}]$, các lớp đồng luân của các hàm liên tục giữa hai hình cầu sao cho một điểm cố định của hình cầu $\mathbb {S} ^{j}$ được gửi tới một điểm cố định của hình cầu $\mathbb {S} ^{n}$ (gọi là hai điểm cơ sở).

Tập hợp $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})$ có thể được trang bị một cấu trúc nhóm abel.

Nếu $j<n$, nhóm này là nhóm tầm thường: $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=\{0\}$.

Nếu $j=n$, ta có $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$ (có thể chứng minh bằng định lý Hurewicz).

1 chiều: các nhóm đồng luân của đường tròn

Ta có:

• $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z}$;
• $\pi _{q}(\mathbb {S} ^{1})=0\quad$với$\quad q\geq 2$.

2 chiều và 3 chiều

Các hình cầu có ít nhất hai chiều là đơn liên, nói riêng:

$\pi _{1}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{3})=0$

Với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng 3, ta có: $\pi _{2}(\mathbb {S} ^{n})=0$, nói riêng:

$\pi _{2}(\mathbb {S} ^{3})=0$

Với mọi $n$, ta có: $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$, nói riêng:

$\pi _{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z}$,

$\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}$.

Biểu diễn ba chiều của một phần thành thớ Hopf

Thành thớ Hopf

$F=S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}=B\,\!$

cho ta một dãy khớp đồng luân,

$\pi _{i}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{3})\to \pi _{i}(S^{2})\to \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i-1}(S^{3})\,\cdots$

Từ $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z}$ và với $i\geq 2$, $\pi _{i}(\mathbb {S} ^{1})=0$ ta có một đẳng cấu

$\pi _{i}(\mathbb {S} ^{3})\simeq \pi _{i}(\mathbb {S} ^{2})$ với $i\geq 3$,

nói riêng

$\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}$

Với các nhóm đồng luân bậc cao hơn, nhiều kỹ thuật khác cho ta các kết quả sau

• $\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)$
• $\pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)$
• $\pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)$

Các nhóm đồng luân của $\mathbb {S} ^{3}$ và $\mathbb {S} ^{2}$

$k$	3	4	5	6	7	số 8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})$	Z	Z2		Z12	Z2		Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6	Z30		Z2×Z6	Z22×Z12		Z22×Z132

Chiều cao hơn

Bảng

Tính toán các nhóm đồng luân của các hình cầu nói chung là phức tạp. Bảng sau tóm gọn lại kết quả thu được.

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15	π16
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S3	0	0	Z	Z2	Z2
S4	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25	Z26
S5	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2	Z504×Z22
S6	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23	Z72×Z2
S7	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23	Z24
S8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120	Z24
S9	0	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240

Ổn định khi số chiều lớn

Bảng đồng luân của $\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ dễ nhìn hơn:

Sn	πn	πn+1	πn+2	πn+3	πn+4	πn+5	πn+6	πn+7	πn+8	πn+9	πn+10	πn+11	πn+12	πn+13	πn+14	πn+15
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6	Z30
S3	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6	Z30	Z30
S4	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25	Z26	Z24×Z6×Z2	Z2520×Z6×Z2	Z30
S5	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2	Z504×Z22	Z23	Z6×Z2	Z6×Z2	Z30×Z2
S6	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23	Z72×Z2	Z504×Z4	Z240	Z6	Z12×Z2	Z60×Z6
S7	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23	Z24	Z24×Z2	Z504×Z2	0	Z6	Z24×Z4	Z120×Z23
S8	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120	Z24	Z25	Z242×Z2	Z504×Z2	0	Z6×Z2	Z240×Z24×Z4	Z120×Z25
S9	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z23	Z24	Z24×Z2	Z504×Z2	0	Z6	Z16×Z4	Z240×Z23
S10	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z×Z23	Z12×Z2	Z504	Z12	Z6	Z16×Z2	Z240×Z22
S11	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6×Z2	Z504	Z22	Z6×Z2	Z16×Z2	Z240×Z2
S12	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z×Z504	Z2	Z6×Z2	Z48×Z4×Z2	Z240×Z2
S13	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z6	Z16×Z2	Z480×Z2
S14	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z×Z3	Z8×Z2	Z480×Z2
S15	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z4×Z2	Z480×Z2
S16	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z22	Z×Z480×Z2
S17	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z22	Z480×Z2
S18	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z22	Z480×Z2
S19	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z22	Z480×Z2

Với số chiều đủ lớn, ta có

• $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$ (cột đầu tiên màu vàng của bảng trên)
• $\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3$ (cột thứ hai - màu tím - của bảng trên)
• $\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2$ (cột thứ ba - màu lam - của bảng trên)

Hóa ra là $\Gamma _{k}=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ không phụ thuộc vào $n$ với $n$ đủ lớn. Hiện tượng này được gọi là sự ổn định. Nó xuất phát từ định lý suspension Freudenthal sau đây:

• Các đồng cấu suspension $S:\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})\to \pi _{n+k+1}(\mathbb {S} ^{n+1})$ là một đẳng cấu với $n\geq k+2$
• và là một toàn cấu (theo nghĩa một đồng cấu toàn ánh) với $n=k+1$.

Danh sách các nhóm đồng luân ổn định

Các nhóm ổn định đầu tiên $\Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n}),\quad n\geq k+2$ là như sau:

• $\Gamma _{-j}=\pi _{n-j}(\mathbb {S} ^{n})=0,$
• $\Gamma _{0}=\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$
• $\Gamma _{1}=\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3$
• $\Gamma _{2}=\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2$
• $\Gamma _{3}=\pi _{n+3}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(24),\quad n\geq 5$
• $\Gamma _{4}=\pi _{n+4}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 6$
• $\Gamma _{5}=\pi _{n+5}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 7$
• $\Gamma _{6}=\pi _{n+6}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 5$
• $\Gamma _{7}=\pi _{n+7}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(240),\quad n\geq 9$
• $\Gamma _{8}=\pi _{n+8}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 10$

Các nhóm đồng luân ổn định là hữu hạn ngoại trừ $k=0$.

Nhóm đồng luân ổn định $\ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})$ với $k$ nhỏ hơn 23

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	số 8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\Gamma _{k}$	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z22	Z480⊕Z2	Z22	Z24	Z8⊕Z2	Z264⊕Z2	Z24	Z22	Z22

Từ $k=23$, $\Gamma _{k}$ trở nên phức tạp, ví dụ:

$\Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{65520}\oplus \mathbb {Z} _{24}\oplus \mathbb {Z} _{2}$

$\Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{16}\oplus \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{9}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}\oplus \mathbb {Z} _{7}\oplus \mathbb {Z} _{13}$

Nhóm đồng luân ổn định $\ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})$ với $k$ nhỏ hơn 60

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7
$\Gamma _{k}$	Z	Z2	Z2	Z24=Z8⊕Z3	0	0	Z2	Z240 =Z16⊕Z3⊕Z5
$k$	8	9	10	11	12	13	14	15
$\Gamma _{k}$	Z22	Z23	Z6=Z2⊕Z3	Z504 =Z8⊕Z9⊕Z7	0	Z3	Z22	Z480⊕Z2 =Z32⊕Z2⊕Z3⊕Z5
$k$	16	17	18	19	20	21	22	23
$\Gamma _{k}$	Z22	Z24	Z8⊕Z2	Z264⊕Z2 =Z8⊕Z2⊕Z3⊕Z11	Z24	Z22	Z22	Z16⊕Z8⊕Z2 ⊕Z9⊕Z3 ⊕Z5⊕Z7⊕Z13
$k$	24	25	26	27	28	29	30	31
$\Gamma _{k}$	Z22	Z22	Z22⊕Z3	Z24=Z8⊕Z3	Z2	Z3	Z6=Z2⊕Z3	Z64⊕Z22⊕Z3 ⊕Z5⊕Z17
$k$	32	33	34	35	36	37	38	39
$\Gamma _{k}$	Z24	Z25	Z4⊕Z23	Z8⊕Z22⊕Z27 ⊕Z7⊕Z19	Z6=Z2⊕Z3	Z22⊕Z3	Z2⊕Z60= Z2⊕Z4⊕Z3⊕Z5	Z16⊕Z25⊕Z32⊕Z25⊕Z11
$k$	40	41	42	43	44	45	46	47
$\Gamma _{k}$	Z25⊕Z4⊕Z3	Z25	Z8⊕Z22⊕Z3	Z552 =Z8⊕Z3⊕Z23	Z8	Z16⊕Z23 ⊕Z9⊕Z5	Z24⊕Z3	Z32⊕Z4⊕Z23 ⊕Z9⊕Z3 ⊕Z5⊕Z7⊕Z13
$k$	48	49	50	51	52	53	54	55
$\Gamma _{k}$	Z24⊕Z4	Z22⊕Z3	Z3⊕Z23	Z8⊕Z4⊕Z22⊕Z3	Z23⊕Z3	Z24	Z4⊕Z2	Z16⊕Z32⊕Z5⊕Z29
$k$	56	57	58	59	60	61	62	63
$\Gamma _{k}$	Z22	Z24	Z22	Z8⊕Z22⊕Z9 ⊕Z7⊕Z11⊕Z31	Z4

Các nhóm đồng luân không ổn định

Một số nhóm đồng luân không ổn định:

• Với chiều 2 và 3 ($\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})$):
  • $\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}$
  • $\pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} /(2)$
  • $\pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)$
• Với chiều 4: $\pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})=\mathbb {Z} /(12)\oplus \mathbb {Z}$

Nhóm đồng luân vô hạn

Các nhóm đồng luân ổn định $\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ là hữu hạn ngoại trừ $k=0$ (($\Gamma _{0}=\mathbb {Z}$).

Các nhóm đồng luân không ổn định là hữu hạn ngoại trừ các nhóm $\pi _{4p-1}(\mathbb {S} ^{2p})$ (với p > 0). Những nhóm này $\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})$, $\pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})$, $\pi _{11}(\mathbb {S} ^{6})$,...) đẳng cấu với tổng trực tiếp của $\mathbb {Z}$ và một nhóm hữu hạn.

Tham khảo

• Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, tomes 2 et 3
• Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique
• Fabien Morel, «Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques», trong Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, vol. 3, Cassini, 2007