Phi hàm Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
1000 giá trị đầu tiên của \phi(n)

Trong lý thuyết số, hàm số Euler ký hiệu bởi \phi(n) của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên tố cùng nhau với n.

Chẳng hạn, \phi(9) = 6 vì có sáu số 1, 2, 4, 5, 7 và 8 là nguyên tố cùng nhau với 9.

Hàm số \phi trong tiếng Anh còn được gọi là hàm "totient".

Hàm này thường được gọi là hàm số Euler, theo tên nhà toán học Thụy Sỹ Leonhard Euler, người đã nghiên cứu nó và ký hiệu nó bằng chữ cái Hy Lạp Phi (\phi). Đối totient của n được định nghĩa là n - \phi(n), nghiã là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà không nguyên tố với n.

Hàm phi có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước của nhóm nhân các số nguyên modulo n. Quan trọng hơn \phi(n) là cấp của nhóm các đơn vị trong vành có đơn vị \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Tính giá trị phi hàm Euler[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức[sửa | sửa mã nguồn]

Từ định nghĩa chúng ta có \phi(1) = 1, và \phi(n) = (p - 1)p^{k - 1} với n là lũy thừa bậc k của số nguyên tố p. Ngoài ra, \phi là một hàm nhân tính; nếu mn là nguyên tố cùng nhau thì \phi(mn) = \phi(m) \phi(n). (Tóm lược chứng minh: gọi A, B, C là các tập hợp các lớp đồng dư tương ứng theo các modulo m, n, mn ; khi đó có một song ánh giữa A \times BC, (theo định lý số dư Trung Quốc).) Giá trị của \phi(n) có thể tính được khi sử dụng định lý cơ bản của số học:

Nếu
n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}

trong đó các p_j là các số nguyên tố phân biệt, thì

\varphi(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}

Công thức này là một tích Euler và thường được viết là

\varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

với tích chạy qua các số nguyên tố  p là ước của  n .

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

\varphi(36)=\varphi\left(3^2 2^2\right)=36\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=36\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=12

Một số giá trị[sửa | sửa mã nguồn]

\phi(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Số \varphi(n) cũng bằng số các phần tử sinh có thể của nhóm cyclic C_n (và do đó cũng là bậc của đa thức cyclotomic \varphi_n). Từ đó mọi phần tử của C_n sinh ra một nhóm con cyclic của C_n va có dạng C_d trong đó d chia hết n (ký hiệu d | n), ta có

\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n

trong đó tổng trải trên tất cả các ước dương d của n.

Chúng ta cũng có thể sử dụng công thức đảo ngược Möbius để "đảo ngược" tổng này và được một công thức khác đối với hàm \varphi(n):

\varphi(n)=\sum_{d\mid n} d \cdot \mu(n/d)

trong đó \muhàm Möbius xác định trên các số nguyên dương.

Theo Định lý Euler, nếu a nguyên tố cùng nhau với n, nghiã là, ƯCLN(a,n) = 1, thì

 a^{\varphi(n)} \equiv 1\mod n.

Điều này suy ra từ Định lý Lagrange và từ việc a thuộc nhóm nhân modulo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} nếu và chỉ nếu a nguyên tố cùng nhau với n.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]