Tiên đề Archimede

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Đây là một tính chất trên trường số thực được mang tên nhà toán học, vật lý học, và nhà phát minh người Hy Lạp Archimedes (287 TCN - 212 TCN)

Tiên đề này còn được gọi là tiên đề thứ tự cho số thực

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực \ x > 0 và mọi số thực \ y thì tồn tại một số tự nhiên \ n sao cho \ nx > y .

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Việc chứng minh chủ yếu dựa vào Tiên đề cận trên đúng phát biểu như sau: Mọi tập hợp con \ A của tập số thực \ R , trong đó \ A bị chặn trên, đều có cận trên đúngsố thực, tức là \ sup(A) \in R

  • Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử không tồn tại số tự nhiên \ n sao cho

\ nx > y , nên \ \forall n \in R, nx \le y .

  • Xét tập hợp \ A = \lbrace n \in N | nx \le y \rbrace
  • Rõ ràng A bị chặn trên bởi \ y và do đó theo tiên đề cận trên đúng, \ y là cận trên đúng của \ A .
  • Do \ x > 0 nên \ y - x < y không là cận trên đúng của \ A , nên tồn tại một số tự nhiên \ n sao cho \ y - x < nx \le y (vì nếu không, \ y - x trở thành cận trên đúng của \ A , trái với giả thiết ban đầu \ sup(A) = y )
  • Tuy nhiên điều này vô lý do

\ y - x < nx \leftrightarrow y < (n + 1)x \, trong đó \ n+1\in N .

  • Vậy điều ta giả thiết là sai, nên phải tồn tại một số tự nhiên \ n sao cho \ nx > y .

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực \ x < 0 và mọi số thực \ y thì tồn tại một số tự nhiên \ n sao cho \ nx < y .

Cách chứng minh gần như tương tự, chỉ cần thay \ x bởi \ -x

Ý nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này cho thấy

  • Tính vô hạn của trường số thực.
  • Tính bị chặn của một đoạn (hay khoảng) bất kì.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]