Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Dòng 29:
Dòng 29:
=<math>\Psi(\mathbf{r},0)</math><math> {df(t)/}</math> <math> {dt}</math>
=<math>\Psi(\mathbf{r},0)</math><math> {df(t)/}</math> <math> {dt}</math>
Và đạo hàm bậc 2 theo x
Và đạo hàm bậc 2 theo x
::<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)</math>
::<math>\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)</math>
Phiên bản lúc 12:23, ngày 4 tháng 4 năm 2013
Trong cơ học lượng tử , toán tử Hamilton là một toán tử tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời gian, được kí hiệu là H, Ȟ hoặc Ĥ.
Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và động năng của hệ;
H
^
=
T
^
+
V
^
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}}
trong đó
V
^
=
V
=
V
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\hat {V}}=V=V({\mathbf {r}},t)}
V
^
{\displaystyle {\hat {V}}}
là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là thế năng .
T
^
=
p
^
⋅
p
^
2
m
=
p
^
2
2
m
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\mathbf {\hat {p}}}\cdot {\mathbf {\hat {p}}}}{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động lượng .
p
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}
T
^
{\displaystyle {\hat {T}}}
là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động năng .
Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger
H
^
=
T
^
+
V
^
=
p
^
⋅
p
^
2
m
+
V
(
r
,
t
)
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {{\mathbf {\hat {p}} }\cdot {\mathbf {\hat {p}} }}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}
Phương trình Schrodinger và toán tử Hamilton
Xem bài viết chính phương trình Schrodinger
Cho hàm sóng
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
.Ta có phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng đó là
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
=
H
^
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
.
Trong đó
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
là toán tử Hamilton .
Giả sử
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
có thể viết dưới dạng tích hàm theo thời gian với hàm sóng tại thời điểm t=0;
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
=
Ψ
(
r
,
0
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,0)}
f
(
t
)
{\displaystyle {f(t)}}
Đạo hàm theo t.Ta có:
=
Ψ
(
r
,
0
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,0)}
d
f
(
t
)
/
{\displaystyle {df(t)/}}
d
t
{\displaystyle {dt}}
Và đạo hàm bậc 2 theo x
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
=
H
^
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}