Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với $k\neq 0$, vectơ $k{\vec {u}}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ ${\vec {n}}\neq {\vec {0}}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với $k\neq 0$, vectơ $k{\vec {n}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương ${\vec {a}}=(a,b)$ thì có vectơ pháp tuyến là ${\vec {n}}=(-b,a)$ hay ${\vec {n}}=(b,-a)$. Ngược lại, đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến ${\vec {n}}=(a,b)$ thì có vectơ chỉ phương là ${\vec {a}}=(-b,a)$ hay ${\vec {a}}=(b,-a)$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d$ có vectơ ${\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ và vectơ ${\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa ${\vec {n_{1}}}$ với ${\vec {n_{2}}}$ hoặc giữa ${\vec {n_{2}}}$ với ${\vec {n_{1}}}$.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và nhận ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $d$ là${\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}$ với $t$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu $u_{1}\neq 0$ và $u_{2}\neq 0$, từ phương trình tham số ta khử tham số $t$, ta được phương trình chính tắc ${x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}$.

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Dạng tổng quát

Phương trình $ax+by+c=0$ với $a^{2}+b^{2}\neq 0$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó ${\vec {n}}=(a,b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng $by+c=0$ $(a=0)$ vuông góc với trục $Oy$ tại điểm $A(0;-{c \over b})$.

Đường thẳng $ax+c=0$ $(b=0)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $B(-{c \over a};0)$.

Đường thẳng $ax+by=0$ $(c=0)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(x_{0};0)$ ($x_{0}\neq 0$) và $B(0;y_{0})$ ($y_{0}\neq 0$) thì có thể được viết dưới dạng phương trình ${x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1$.

Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $M$ và tia $Mt$ là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục $Ox$ mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia $Mt$ hợp với tia $Mx$ một góc $\alpha$. Đặt $k=\tan \alpha$, khi đó $k$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $d$.

Đường thẳng có vecto chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ thì có hệ số góc $k={u_{2} \over u_{1}}$.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến ${\vec {n}}=(a,b)$ thì có hệ số góc $k=-{a \over b}$.

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là $-1$.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng: $(D)$ $Ax+By+C=0$ và $(d)$ $ax+by+c=0$.

$(D)$ cắt $(d)$ $\Leftrightarrow$ ${A \over a}\neq {B \over b}$ khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình ${\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}$

$(D)$ $//$ $(d)$$\Leftrightarrow$ ${A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}$

$(D)$ $\equiv$ $(d)$$\Leftrightarrow$$A:B:C=a:b:c$

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng $(D)$ và $(d)$ cắt nhau tại điểm $M$. Gọi ${\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})$ là vectơ pháp tuyến của $(D)$ và ${\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})$ là vectơ pháp tuyến của $(d)$. Gọi $\alpha$ là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

$\cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}$

2 đường thẳng vuông góc thì $\alpha =90^{\circ }$.

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì $\alpha =0^{\circ }$.

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ $ax+by+c=0$ và $M(x_{0},y_{0})\not \in (d)$, khoảng cách từ điểm $M$ đến $(d)$ được tính theo công thức $d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ $ax+by+c=0$ và 2 điểm $M(x_{M},y_{M})$, $N(x_{N},y_{N})$ không nằm trên $(d)$. Xét các biểu thức $m=ax_{M}+by_{M}+c$ và $n=ax_{N}+by_{N}+c$, khi đó $M$ và $N$ nằm cùng phía với $(d)$ khi $m$ và $n$ cùng dấu, khác phía khi $m$ và $n$ trái dấu.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ và nhận ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $d$ là ${\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}$ với $t$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu cả $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ đều khác $0$, từ phương trình tham số ta khử tham số $t$, ta được phương trình chính tắc: ${x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}$

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ và $(d')$ có vectơ chỉ phương ${\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})$. Gọi $M(x,y,z)$ là một điểm nằm trên $(d)$ và $M'(x',y',z')$ là một điểm nằm trên $(d')$. Ta có:

$(d)\equiv (d')$ $\Leftrightarrow$ $[{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}$

$(d)//(d')$ $\Leftrightarrow$ $[{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}$ và $[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}$

$(d)$ cắt $(d')$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}$

$(d)$ và $(d')$ chéo nhau $\Leftrightarrow$${\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0$

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M_{0}$ và có vectơ chỉ phương ${\vec {u}}$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến $(d)$ là $d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau $(d)$ và $(d')$. Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ và đường thẳng $(d')$ có vectơ chỉ phương ${\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})$. Gọi $M(x,y,z)$ là một điểm nằm trên $(d)$ và $M'(x',y',z')$ là một điểm nằm trên $(d')$. Khi đó khoảng cách giữa $(d)$ và $(d')$ là

$d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }$

Xem thêm

Đường thẳng

Liên kết ngoài

1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao